1. Calcule a densidade em \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3} do \mathrm{ZrO}_{2} que tem a estrutura do \mathrm{CaF}_{2}. Os raios iônicos são: \mathrm{Zr}^{4+} =0,087 \mathrm{~nm} ; \mathrm{O}^{2-}=0,132 \mathrm{~nm}. Massas atômicas: \quad \mathrm{Zr}=91,22 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ; \mathrm{O}=16 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}.

Passo 1

O enunciado pede a densidade em \mathrm{g/cm^{3}} do óxido de zircônio \mathrm{ZrO_{2}} que cristaliza na estrutura do fluorita ( \mathrm{CaF_{2}}). Vamos usar conceitos de célula unitária cúbica, número de íons por célula, e as fórmulas
– massa da célula m_{\text{cel}} a partir das massas atômicas e do número de fórmulas por célula;
– aresta da célula a obtida dos raios iônicos;
– volume da célula V=a^{3};
– densidade \rho=m_{\text{cel}}/V.

Passo 2

Na estrutura do fluorita, cada célula cúbica contém 4 cátions no total (nos vértices e centros de faces) e 8 ânions (posições tetraédricas), de modo que para \mathrm{ZrO_{2}} há 4 íons \mathrm{Zr}^{4+} e 8 íons \mathrm{O}^{2-} por célula unitária.

Passo 3

A massa da célula é
m_{\text{cel}} = \frac{4\,M_{\mathrm{Zr}} + 8\,M_{\mathrm{O}}}{N_{A}} = \frac{4\cdot 91{,}22 + 8\cdot16}{6{,}022\times10^{23}}\;\mathrm{g} = \frac{364{,}88 + 128}{6{,}022\times10^{23}}\;\mathrm{g} = \frac{492{,}88}{6{,}022\times10^{23}}\;\mathrm{g} \approx 8{,}19\times10^{-22}\;\mathrm{g}.

Passo 4

Na estrutura tipo fluorita o cátion em (0,0,0) e o ânion em (1/4,1/4,1/4) ficam separados por
d = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a = r_{\mathrm{Zr}^{4+}} + r_{\mathrm{O}^{2-}}.
Como r_{\mathrm{Zr}^{4+}}=0{,}087\,\mathrm{nm} e r_{\mathrm{O}^{2-}}=0{,}132\,\mathrm{nm}, tem
a = \frac{4\,(0{,}087 + 0{,}132)}{\sqrt{3}}\;\mathrm{nm} = \frac{4\cdot0{,}219}{1{,}732}\;\mathrm{nm} \approx 0{,}5057\;\mathrm{nm}.
Convertendo para centímetros ( 1\,\mathrm{nm}=10^{-7}\,\mathrm{cm}):
a \approx 0{,}5057\times10^{-7}\;\mathrm{cm} =5{,}057\times10^{-8}\;\mathrm{cm}.

Passo 5

O volume da célula unitária é
V = a^{3} = (5{,}057\times10^{-8}\,\mathrm{cm})^{3} \approx 1{,}29\times10^{-22}\;\mathrm{cm^{3}}.

Passo 6

Finalmente, a densidade é
\rho = \frac{m_{\text{cel}}}{V} \approx \frac{8{,}19\times10^{-22}\,\mathrm{g}}{1{,}29\times10^{-22}\,\mathrm{cm^{3}}} \approx 6{,}35\;\mathrm{g/cm^{3}}.

Resposta

A densidade do \mathrm{ZrO_{2}} na estrutura do \mathrm{CaF_{2}} é aproximadamente 6{,}35\;\mathrm{g/cm^{3}}.

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