Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(x) f(x)=\operatorname{sen}^{3} 4 x+x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
\;f(x)=\sin^{3}(4x)+x.
O conteúdo envolvido é: derivada de potência composta e derivada de função trigonométrica usando a regra da cadeia.

Passo 2

Para derivar \sin^{3}(4x), consideramos a composição
g(u)=u^{3},\quad u(x)=\sin(4x).
Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\sin^{3}(4x) = g'(u(x))\cdot u'(x) =3\,\sin^{2}(4x)\,\frac{d}{dx}\bigl(\sin(4x)\bigr).

Passo 3

Agora derivamos \sin(4x). Tomando a composição
h(v)=\sin(v),\quad v(x)=4x,
temos
\frac{d}{dx}\sin(4x) =h'(v(x))\cdot v'(x) =\cos(4x)\cdot 4 =4\cos(4x).
Substituindo de volta,
\frac{d}{dx}\sin^{3}(4x) =3\,\sin^{2}(4x)\times4\cos(4x) =12\,\sin^{2}(4x)\cos(4x).

Passo 4

A derivada de x é direta:
\frac{d}{dx}x=1.

Passo 5

Somando as partes, a derivada de f fica
f'(x)=12\,\sin^{2}(4x)\cos(4x)+1.

Resposta

f'(x)=12\sin^{2}(4x)\cos(4x)+1

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