Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(y) f(x)=\operatorname{tg}^{5} x+\operatorname{sec} ^{2} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\tan^5 x+\operatorname{sec}^2 x.
O conteúdo envolvido é derivada de potência composta (regra da cadeia), além das derivadas conhecidas de \tan x e \operatorname{sec} x.

Passo 2

Para derivar \tan^5 x, vemos isso como uma composição u(x)=\tan x e a função externa u^5. Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[\tan^5 x\bigr] =5\,\tan^4 x\cdot\frac{d}{dx}[\tan x].

Passo 3

Sabendo que
\frac{d}{dx}[\tan x]=\operatorname{sec}^2 x,
concluímos
\frac{d}{dx}[\tan^5 x]=5\,\tan^4 x\,\operatorname{sec}^2 x.

Passo 4

Para derivar \operatorname{sec}^2 x, aplicamos de novo a regra da cadeia: tome v(x)=\operatorname{sec} x e a potência v^2. Então
\frac{d}{dx}[\operatorname{sec}^2 x] =2\,\operatorname{sec} x\cdot\frac{d}{dx}[\operatorname{sec} x] =2\,\operatorname{sec} x\cdot(\operatorname{sec} x\,\tan x) =2\,\operatorname{sec}^2 x\,\tan x.

Passo 5

Somando as duas derivadas obtidas:
f'(x) =5\,\tan^4 x\,\operatorname{sec}^2 x +2\,\operatorname{sec}^2 x\,\tan x =\operatorname{sec}^2 x\,(5\,\tan^4 x+2\,\tan x).

Resposta

f'(x)=\operatorname{sec}^2 x\,(5\,\tan^4 x+2\,\tan x).

Exercícios relacionados