Calcule a derivada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes que temos:
- A função é dada por
. - Note que o denominador se anula em
, portanto a expressão dada não está definida em (a menos que alguém a estenda por continuidade). - Então, vamos calcular a derivada para
e, depois, verificar o que acontece em caso a função seja estendida por continuidade.
Passo 2
Escolha do método: é mais prático reescrever a função como produto de duas funções em vez de aplicar diretamente a regra do quociente. Reescrevemos
Vou usar a regra do produto, porque é direta e evita frações intermediárias complicadas.
Regra do produto (mini-aula): se
e
são funções diferenciáveis, então
Aqui escolhemos
e
. Agora calculamos as derivadas parciais:
- Derivada de
: . - Derivada de
: .
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Escrevendo de forma mais explícita:
Passo 4
Simplificação final em uma única fração (passo a passo):
- Colocamos em denominador comum
:
- Subtraindo os numeradores:
Essa expressão vale para
.
Passo 5
O que acontece em
? Primeiro, a função original dada não está definida em
, mas é comum estendê-la por continuidade definindo
(use l’Hôpital ou o limite clássico
). Se fizermos essa extensão contínua, podemos verificar a derivada em
pela definição:
Calculemos esse limite com l’Hôpital (forma
):
- Derivando numerador e denominador uma vez:
- Aplicando l’Hôpital novamente:
Portanto, se a função for estendida por continuidade em
(com
), então
.
Resposta
Se estendida por continuidade com