Calcule a derivada.
f(x)=-4 x^{2} \cos x

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=-4 x^{2} \cos x\, e pede para calcular a derivada \,f'(x)\,.
Informações relevantes fornecidas:
\,f(x)=-4 x^{2} \cos x\,.
Não há outras condições ou perguntas adicionais.

Passo 2

Regra útil 1 — constante multiplicativa:
Se c é uma constante e g(x) é uma função, então
(c\cdot g(x))' = c\cdot g'(x).
Isto significa que podemos “puxar” constantes para fora da derivada. Exemplo rápido: (3\cdot x^2)'=3\cdot (x^2)'=3\cdot 2x=6x.

Passo 3

Regra útil 2 — regra do produto:
Se u(x) e v(x) são funções, a derivada do produto é
( u(x)\,v(x) )' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v. Exemplo simples: se u(x)=x e v(x)=\sin x, então (x\sin x)' = 1\cdot\sin x + x\cdot\cos x.

Passo 4

Regra útil 3 — derivadas básicas que vamos usar:
  • Regra do poder: (x^{n})' = n x^{n-1}. Em particular, (x^2)' = 2x.
  • Derivada do cosseno: (\cos x)' = -\sin x.

Passo 5

Aplicando as regras ao nosso problema.
Primeiro, use a Regra 1 para puxar a constante -4 para fora:
f(x)=-4\bigl(x^{2}\cos x\bigr)\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=-4\bigl(x^{2}\cos x\bigr)'.
Agora aplique a regra do produto (Regra 2) em x^{2}\cos x. Tome
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=\cos x.
Calculamos u'(x)=(x^{2})'=2x (pela regra do poder) e v'(x)=(\cos x)'=-\sin x (pela derivada do cosseno).

Passo 6

Substituindo na regra do produto:
\bigl(x^{2}\cos x\bigr)' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x\cos x + x^{2}(-\sin x).
Portanto
f'(x) = -4\bigl(2x\cos x - x^{2}\sin x\bigr).

Passo 7

Distribuindo o -4 e simplificando os sinais:
f'(x) = -4\cdot 2x\cos x + (-4)\cdot\bigl(-x^{2}\sin x\bigr) = -8x\cos x + 4x^{2}\sin x.
Reescrevendo numa forma mais habitual:
f'(x) = 4x^{2}\sin x - 8x\cos x.

Passo 8

Opcional — fatoração para simplificar a escrita na prova:
É possível fatorar 4x em evidência:
f'(x) = 4x\bigl(x\sin x - 2\cos x\bigr).

Resposta

f'(x)=4x^{2}\sin x-8x\cos x

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