Calcule a derivada da função:
y=\left(3 x^{2}+1\right)^{5}

Passo 1

O enunciado dá a função e pede a derivada:
  • Função: y=\left(3x^{2}+1\right)^{5}.
  • Pedido: calcular \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x).

Passo 2

Vamos organizar a ideia antes de começar a calcular. Quando temos uma expressão elevada a uma potência, como \left(\text{algo que depende de }x\right)^{5}, usamos a regra de derivação que combina a regra do poder com a regra da cadeia. Para explicar direitinho:
  • Considere uma função composta y=(u(x))^{n}, onde u(x) é uma função de x e n é um número (aqui n=5).
  • A regra do poder diz que, tratando u como variável, a derivada de u^{n} em relação a u é n u^{n-1}.
  • A regra da cadeia diz que, para recuperar a derivada em relação a x, multiplicamos pela derivada de u em relação a x: \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}.
    Aqui vou aplicar isso passo a passo e explicar cada pequena conta.

Passo 3

Fazer uma substituição para clarear os papéis das funções:
  • Defina u=3x^{2}+1. Então a função fica y=u^{5}.
  • Agora calcule \dfrac{dy}{du} usando a regra do poder (tratando u como variável):
\dfrac{dy}{du}=5u^{4}.
Explicando: derivei u^{5} em relação a u; a regra do poder manda multiplicar por 5 e reduzir o expoente para 4.

Passo 4

Agora calcule \dfrac{du}{dx}, ou seja, a derivada do interior u=3x^{2}+1 em relação a x.
  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • A derivada de uma constante ( 1) é 0.
  • A derivada de 3x^{2} usa a regra do fator constante e a regra do poder: derive x^{2} como 2x e multiplique por 3.
    Logo,
\dfrac{du}{dx}= \dfrac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+1\bigr)=3\cdot 2x + 0 = 6x.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia juntando os resultados de cima:
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}.
Substituindo \dfrac{dy}{du}=5u^{4} e \dfrac{du}{dx}=6x, obtemos
\dfrac{dy}{dx}=5u^{4}\cdot 6x = 30x\,u^{4}.

Passo 6

Voltar à variável original x substituindo u=3x^{2}+1:
\dfrac{dy}{dx}=30x\,(3x^{2}+1)^{4}.
Essa é a derivada final. Podemos checar mentalmente: o fator 30x vem da combinação do 5 do expoente com o 6x da derivada do interior; o expoente cai de 5 para 4 no fator (3x^{2}+1).

Passo 7

Resumo rápido e dica prática para prova: para derivar \bigl(a x^{m}+b\bigr)^{n} faça
  1. derivada do exterior pelo poder: n\bigl(\cdot\bigr)^{n-1};
  2. multiplicar pela derivada do interior: a m x^{m-1}.
    No caso concreto a=3, m=2, n=5 isso dá exatamente 30x(3x^{2}+1)^{4}. Se quiser, treine com \bigl(2x^{3}+5\bigr)^{4} para fixar: resultaria em 4(2x^{3}+5)^{3}\cdot 6x^{2}=24x^{2}(2x^{3}+5)^{3}.

Resposta

30x(3x^{2}+1)^{4}