Calcule a derivada da função:
Passo 1
O enunciado dá a função e pede a derivada:
- Função:
. - Pedido: calcular
(a derivada de em relação a ).
Passo 2
Vamos organizar a ideia antes de começar a calcular. Quando temos uma expressão elevada a uma potência, como
, usamos a regra de derivação que combina a regra do poder com a regra da cadeia. Para explicar direitinho:
- Considere uma função composta
, onde é uma função de e é um número (aqui ). - A regra do poder diz que, tratando
como variável, a derivada de em relação a é . - A regra da cadeia diz que, para recuperar a derivada em relação a
, multiplicamos pela derivada de em relação a : .
Aqui vou aplicar isso passo a passo e explicar cada pequena conta.
Passo 3
Fazer uma substituição para clarear os papéis das funções:
- Defina
. Então a função fica . - Agora calcule
usando a regra do poder (tratando como variável):
Explicando: derivei
em relação a
; a regra do poder manda multiplicar por
e reduzir o expoente para
.
Passo 4
Agora calcule
, ou seja, a derivada do interior
em relação a
.
- A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- A derivada de uma constante (
) é . - A derivada de
usa a regra do fator constante e a regra do poder: derive como e multiplique por .
Logo,
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia juntando os resultados de cima:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 6
Voltar à variável original
substituindo
:
Essa é a derivada final. Podemos checar mentalmente: o fator
vem da combinação do
do expoente com o
da derivada do interior; o expoente cai de
para
no fator
.
Passo 7
Resumo rápido e dica prática para prova: para derivar
faça
- derivada do exterior pelo poder:
; - multiplicar pela derivada do interior:
.
No caso concreto, , isso dá exatamente . Se quiser, treine com para fixar: resultaria em .