Calcule a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas e coisas importantes a notar:
- Numerador:
. - Denominador:
. - A função está definida quando o denominador existe e é diferente de zero.
existe para e é zero quando . Portanto a função original não está definida em .
O objetivo aqui é encontrarpara os pontos do domínio onde a função é diferenciável.
Passo 2
Derivada do numerador: ensinar a regra usada e calcular com calma.
Regra usada: regra da cadeia para composição. Se
, então a derivada é
Aqui
. Logo
. Aplicando:
Explicação em palavras: a derivada da função seno é cosseno avaliado no mesmo argumento, multiplicado pela derivada interna do argumento (que é
porque
).
Passo 3
Derivada do denominador: ensinar a regra e calcular.
Regra usada: derivada do logaritmo natural composta. Se
, então
Aqui
. Então
. Substituindo,
válido para
. Em palavras: a derivada do ln é a razão entre a derivada do argumento e o próprio argumento; para
isso simplifica para
.
Passo 4
Agora aplicamos a regra do quociente. Regra do quociente: se
com
diferenciáveis e
, então
Identificando
e
, e usando os resultados dos passos anteriores
e
, obtemos
Passo 5
Simplificação algébrica final e forma conveniente para memorização.
Fatorando
no numerador:
Essa é uma forma clara: um fator
multiplicando uma combinação entre
e
, tudo dividido por
.
Observação sobre domínio: a expressão acima vale para todos os
onde a função original é definida e diferenciável, isto é, para
. Em
e
não faz sentido (ou o denominador é zero), então não se usa a fórmula nesses pontos.