Calcule a derivada das funções abaixo:
y=\frac{\operatorname{sen}(2 x)}{\ln \left(x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y=\frac{\operatorname{sen}(2x)}{\ln\left(x^{2}\right)}.
Informações dadas e coisas importantes a notar:
  • Numerador: \operatorname{sen}(2x).
  • Denominador: \ln\left(x^{2}\right).
  • A função está definida quando o denominador existe e é diferente de zero. \ln\left(x^{2}\right) existe para x\neq 0 e é zero quando x=\pm 1. Portanto a função original não está definida em x=0,\pm 1.
    O objetivo aqui é encontrar y'(x) para os pontos do domínio onde a função é diferenciável.

Passo 2

Derivada do numerador: ensinar a regra usada e calcular com calma.
Regra usada: regra da cadeia para composição. Se h(x)=\operatorname{sen}(u(x)), então a derivada é
h'(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui u(x)=2x. Logo u'(x)=2. Aplicando:
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}(2x)\bigr]=\cos(2x)\cdot 2=2\cos(2x).
Explicação em palavras: a derivada da função seno é cosseno avaliado no mesmo argumento, multiplicado pela derivada interna do argumento (que é 2 porque \frac{d}{dx}(2x)=2).

Passo 3

Derivada do denominador: ensinar a regra e calcular.
Regra usada: derivada do logaritmo natural composta. Se g(x)=\ln(u(x)), então
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x)=x^{2}. Então u'(x)=2x. Substituindo,
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x^{2})\bigr]=\frac{2x}{x^{2}}=\frac{2}{x},
válido para x\neq 0. Em palavras: a derivada do ln é a razão entre a derivada do argumento e o próprio argumento; para x^{2} isso simplifica para 2/x.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente. Regra do quociente: se y=\dfrac{f(x)}{g(x)} com f,g diferenciáveis e g(x)\neq 0, então
y'=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^{2}}.
Identificando f(x)=\operatorname{sen}(2x) e g(x)=\ln(x^{2}), e usando os resultados dos passos anteriores f'(x)=2\cos(2x) e g'(x)=\dfrac{2}{x}, obtemos
y'=\frac{\ln\left(x^{2}\right)\cdot 2\cos(2x)-\operatorname{sen}(2x)\cdot \dfrac{2}{x}}{\bigl(\ln\left(x^{2}\right)\bigr)^{2}}.

Passo 5

Simplificação algébrica final e forma conveniente para memorização.
Fatorando 2 no numerador:
y'=\frac{2\left[\ln\left(x^{2}\right)\cos(2x)-\dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{x}\right]}{\bigl(\ln\left(x^{2}\right)\bigr)^{2}}.
Essa é uma forma clara: um fator 2 multiplicando uma combinação entre \ln(x^{2})\cos(2x) e \operatorname{sen}(2x)/x, tudo dividido por \bigl(\ln(x^{2})\bigr)^{2}.
Observação sobre domínio: a expressão acima vale para todos os x onde a função original é definida e diferenciável, isto é, para x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0,1\}. Em x=0 e x=\pm 1 não faz sentido (ou o denominador é zero), então não se usa a fórmula nesses pontos.

Resposta

y'=\frac{2\left[\ln\left(x^{2}\right)\cos(2x)-\dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{x}\right]}{\bigl(\ln\left(x^{2}\right)\bigr)^{2}}