Calcule a derivada das funções dadas. (Todas as derivadas devem estar em função da variável x)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar a derivada dela em relação a
. Isso faz parte do estudo de derivadas de funções mais complexas, onde aplicamos técnicas como a derivação logarítmica. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e as regras básicas de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a derivação usando logaritmos. Tirar o logaritmo da função facilita na hora de derivar, especialmente quando a função tem a variável no expoente. Então, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para a frente, temos:
Com isso, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Do lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito. Precisamos aplicar a regra do produto, já que temos
multiplicando outra fun�o:
Para derivar
, usamos a regra da cadeia:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
E lembrando que
, temos:
Resposta
A derivada da função é: