Calcule a derivada das funções dadas. (Todas as derivadas devem estar em função da variável x) f(x) = (1 + 1/x)^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar a derivada dela em relação a . Isso faz parte do estudo de derivadas de funções mais complexas, onde aplicamos técnicas como a derivação logarítmica. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e as regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a derivação usando logaritmos. Tirar o logaritmo da função facilita na hora de derivar, especialmente quando a função tem a variável no expoente. Então, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para a frente, temos:
Com isso, vamos derivar ambos os lados em relação a . Do lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito. Precisamos aplicar a regra do produto, já que temos multiplicando outra funç��o:
Para derivar , usamos a regra da cadeia:
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :
E lembrando que , temos:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados