Calcule a derivada das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é uma exponencial com base constante
e expoente dependente de : o expoente é . - O que se pede: determinar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Vamos lembrar as regras que vamos usar (aula rápida e gentil):
- Regra da cadeia: se
, então . Ou seja, diferencia-se a função exterior mantendo o interior , e multiplica-se pela derivada do interior . - Derivada da exponencial com base
: se , então . - Exponencial com base qualquer
: pode-se reescrever como . Assim a derivada de fica
Aqui
é o logaritmo natural de
(constante) e aparece por causa da conversão para a base
ou pela aplicação da regra da cadeia combinada com a derivada de
.
Vou aplicar essas ideias passo a passo ao caso
e
.
Passo 3
Identificar o “interior” (o expoente) e calcular sua derivada:
- Tome
. - Derivada termo a termo (regra do polinômio / regra da potência e do múltiplo constante):
-
. -
.
Portanto
-
Passo 4
Aplicar a fórmula da derivada de
com
:
pela fórmula
pela fórmula
substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Organizar / simplificar a expressão final para ficar mais bonita na prova:
fatorando e
em
temos
fatorando
logo uma forma mais enxuta é
Ambas as formas são equivalentes; essa segunda destaca um fator
que às vezes facilita avaliar a derivada em valores concretos de
.
Passo 6
Exemplo rápido de verificação numérica (só para ganhar confiança):
- Em
, temos . - Pela fórmula,
.
Isto bate com a expressão que encontramos.