Calcule a derivada das funções:
f(x)=2^{3 x^{2}+6 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=2^{3 x^{2}+6 x}.
Informações dadas:
  • A função é uma exponencial com base constante 2 e expoente dependente de x: o expoente é 3 x^{2}+6 x.
  • O que se pede: determinar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos lembrar as regras que vamos usar (aula rápida e gentil):
  • Regra da cadeia: se h(x)=g(u(x)), então h'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x). Ou seja, diferencia-se a função exterior g mantendo o interior u(x), e multiplica-se pela derivada do interior u'(x).
  • Derivada da exponencial com base e: se G(x)=e^{v(x)}, então G'(x)=e^{v(x)}\cdot v'(x).
  • Exponencial com base qualquer a>0: pode-se reescrever a^{v(x)} como e^{v(x)\ln a}. Assim a derivada de a^{v(x)} fica
\frac{d}{dx}a^{v(x)}=a^{v(x)}\ln(a)\cdot v'(x).
Aqui \ln(a) é o logaritmo natural de a (constante) e aparece por causa da conversão para a base e ou pela aplicação da regra da cadeia combinada com a derivada de e^{\cdot}.
Vou aplicar essas ideias passo a passo ao caso a=2 e v(x)=3x^{2}+6x.

Passo 3

Identificar o “interior” (o expoente) e calcular sua derivada:
  • Tome u(x)=3x^{2}+6x.
  • Derivada termo a termo (regra do polinômio / regra da potência e do múltiplo constante):
    • \dfrac{d}{dx}(3x^{2})=3\cdot 2x=6x.
    • \dfrac{d}{dx}(6x)=6.
      Portanto
u'(x)=6x+6.

Passo 4

Aplicar a fórmula da derivada de a^{u(x)} com a=2:
pela fórmula
\frac{d}{dx}2^{u(x)}=2^{u(x)}\ln 2\cdot u'(x),
substituindo u(x)=3x^{2}+6x e u'(x)=6x+6, obtemos
f'(x)=2^{3x^{2}+6x}\ln 2\cdot(6x+6).

Passo 5

Organizar / simplificar a expressão final para ficar mais bonita na prova:
fatorando 6 e x+1 em (6x+6) temos
6x+6=6(x+1),
logo uma forma mais enxuta é
f'(x)=6(x+1)\,\ln 2\; 2^{3x^{2}+6x}.
Ambas as formas são equivalentes; essa segunda destaca um fator 6(x+1) que às vezes facilita avaliar a derivada em valores concretos de x.

Passo 6

Exemplo rápido de verificação numérica (só para ganhar confiança):
  • Em x=0, temos f(0)=2^{0}=1.
  • Pela fórmula, f'(0)=6(0+1)\ln 2\cdot 2^{0}=6\ln 2.
    Isto bate com a expressão que encontramos.

Resposta

f'(x)=6(x+1)\,\ln 2\;2^{3x^{2}+6x}