Calcule a derivada das funções vetoriais abaixo.
r(t) = (t/(1+t), tg(t), 2^t)

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para calcular a derivada de uma função vetorial. A função é . Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial, como derivadas de funções racionais, trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a primeira componente da função vetorial: . Aqui, usamos a regra do quociente, que é aplicada quando temos uma fração onde o numerador e o denominador são funções de t. A regra diz que:
No nosso caso, e . Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda componente: . A derivada da tangente é conhecida na teoria:
Portanto:

Passo 4

Por último, vamos derivar a terceira componente: . Para derivadas de funções exponenciais com base diferente de e, usamos a seguinte regra:
Aqui, , então:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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