Calcule a derivada. f(x) = raiz(3*x^2 + 6*x - 2)^2 + (e^(-x^2) + 1)^(5/2) / x^(5/2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função:
Esse exercício envolve derivação de funções compostas e potenciação. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do poder.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação para facilitar a derivação. Vamos reescrever a função usando expoentes fracionários:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo separadamente usando a regra do poder, que diz que a derivada de é .
Primeiro, derivando :
  1. O expoente é .
  2. A derivada é .
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos derivar o segundo termo :
  1. O expoente é .
  2. A derivada é derivada do interior.
Precisamos derivar o interior . Vamos usar a regra do quociente, que diz que a derivada de é :
Então:

Passo 5

Agora, juntando tudo para a derivada completa:

Resposta

A derivada da função é:

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