Calcule a derivada da seguinte função:
f(z)=\frac{1-z e^{z}}{z+e^{z}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(z)=\frac{1-z e^{z}}{z+e^{z}}.
Informações dadas:
  • A função é a razão entre o numerador 1-z e^{z} e o denominador z+e^{z}.
  • Precisamos encontrar f'(z), a derivada em relação a z.

Passo 2

Escolha do método e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Quando temos uma função dada por quociente \dfrac{N(z)}{D(z)}, a regra do quociente diz:
\left(\frac{N}{D}\right)'=\frac{N'\,D-N\,D'}{D^{2}}.
Aqui N(z) é o numerador e D(z) é o denominador; N' e D' são as derivadas de cada um.
  • Para derivar um produto, usamos a regra do produto: se u(z)v(z) então
(uv)'=u'v+uv'.
  • A derivada de e^{z} é ela mesma: \dfrac{d}{dz}e^{z}=e^{z}.
    Agora identificamos:
N(z)=1-z e^{z},\qquad D(z)=z+e^{z}.

Passo 3

Calcular N'(z) e D'(z) passo a passo.
  • Para N(z)=1-z e^{z}: a derivada de 1 é 0. Para -z e^{z} aplicamos a regra do produto com u(z)=z e v(z)=e^{z}:
\frac{d}{dz}\bigl(z e^{z}\bigr)=1\cdot e^{z}+z\cdot e^{z}=e^{z}+z e^{z}=e^{z}(1+z).
Então
N'(z)=0-\bigl(e^{z}(1+z)\bigr)=-e^{z}(1+z).
  • Para D(z)=z+e^{z}: derivada de z é 1 e de e^{z} é e^{z}, logo
D'(z)=1+e^{z}.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente inserindo N, N', D, D':
f'(z)=\frac{N'(z)D(z)-N(z)D'(z)}{D(z)^{2}} =\frac{-e^{z}(1+z)\,(z+e^{z})-(1-z e^{z})\,(1+e^{z})}{(z+e^{z})^{2}}.
Agora vamos simplificar o numerador de forma organizada.

Passo 5

Expandir e simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro expandir cada produto:
-e^{z}(1+z)(z+e^{z})=-e^{z}\bigl((1+z)z+(1+z)e^{z}\bigr)=-e^{z}\bigl(z+z^{2}+e^{z}+z e^{z}\bigr).
-(1-z e^{z})(1+e^{z})=-(1+e^{z})+z e^{z}(1+e^{z})=-1-e^{z}+z e^{z}+z e^{2z}.
Somando os dois resultados:
\begin{aligned} \text{numerador}={}&\bigl[-e^{z}(z+z^{2}+e^{z}+z e^{z})\bigr]+\bigl[-1-e^{z}+z e^{z}+z e^{2z}\bigr]\\[4pt] ={}&-z e^{z}-z^{2}e^{z}-e^{2z}-z e^{2z}-1-e^{z}+z e^{z}+z e^{2z}. \end{aligned}
Agora cancelar termos que se anulam:
  • O termo -z e^{z} soma com +z e^{z} e se cancelam.
  • O termo -z e^{2z} soma com +z e^{2z} e se cancelam.
    Ficam os termos:
\text{numerador}=-1 - e^{z} - z^{2} e^{z} - e^{2z}.
Agrupando:
\text{numerador}=-\bigl(1 + e^{z}(z^{2}+1) + e^{2z}\bigr).]

Passo 6

Escrever a derivada final simplificada.
Substituindo o numerador simplificado na expressão do Passo 4:
f'(z)=-\frac{1 + e^{z}(z^{2}+1) + e^{2z}}{(z+e^{z})^{2}}.
Essa é uma forma compacta e correta da derivada. Pode também ser deixada sem o sinal negativo externo, mas a forma acima já está bem clara.

Resposta

f'(z)=-\frac{1 + e^{z}\bigl(z^{2}+1\bigr) + e^{2z}}{(z+e^{z})^{2}}