Calcule a derivada da seguinte função:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é a razão entre o numerador
e o denominador . - Precisamos encontrar
, a derivada em relação a .
Passo 2
Escolha do método e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
- Quando temos uma função dada por quociente
, a regra do quociente diz:
Aqui
é o numerador e
é o denominador;
e
são as derivadas de cada um.
- Para derivar um produto, usamos a regra do produto: se
então
- A derivada de
é ela mesma: .
Agora identificamos:
Passo 3
Calcular
e
passo a passo.
- Para
: a derivada de é . Para aplicamos a regra do produto com e :
Então
- Para
: derivada de é e de é , logo
Passo 4
Aplicar a regra do quociente inserindo
,
,
,
:
Agora vamos simplificar o numerador de forma organizada.
Passo 5
Expandir e simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro expandir cada produto:
Primeiro expandir cada produto:
Somando os dois resultados:
Agora cancelar termos que se anulam:
- O termo
soma com e se cancelam. - O termo
soma com e se cancelam.
Ficam os termos:
Agrupando:
Passo 6
Escrever a derivada final simplificada.
Substituindo o numerador simplificado na expressão do Passo 4:
Substituindo o numerador simplificado na expressão do Passo 4:
Essa é uma forma compacta e correta da derivada. Pode também ser deixada sem o sinal negativo externo, mas a forma acima já está bem clara.