Calcule a derivada da seguinte função:
y=\left(x^{3}+2 x\right) e^{x}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • A função fornecida é y=\left(x^{3}+2 x\right)e^{x}.
  • O que é pedido: calcular a derivada dessa função, isto é, encontrar \dfrac{dy}{dx} ou y'.

Passo 2

Observação sobre a estratégia (aqui explico o que vou usar, de forma didática): a expressão é produto de duas funções de x. Quando uma função é produto de duas funções, usa-se a regra do produto. A regra do produto diz o seguinte:
\text{Se }y=u(x)\,v(x)\text{ então }\frac{d}{dx}\big[u(x)\,v(x)\big]=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).ã
Aqui:
  • u(x) é a primeira função do produto (vou escolher u(x)=x^{3}+2x);
  • v(x) é a segunda função do produto (vou escolher v(x)=e^{x});
  • u'(x) e v'(x) são as derivadas de cada uma, que vamos calcular em seguida.
Regra do produto em palavras simples: derivada do primeiro vezes o segundo + primeiro vezes derivada do segundo. Pense como “deriva uma parte e deixa a outra inteira, somando com a parte trocada”.

Passo 3

Derivar cada fator separadamente — explicando as regras usadas.
  1. Derivada de u(x)=x^{3}+2x.
  • Regra do poder (power rule): \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Aplicando termo a termo: \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2} e \dfrac{d}{dx}(2x)=2.
    Portanto
u'(x)=3x^{2}+2.
  1. Derivada de v(x)=e^{x}.
  • Propriedade fundamental da função exponencial: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
    Portanto
v'(x)=e^{x}.

Passo 4

Aplicar a regra do produto substituindo u,u',v,v' obtidos.
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo os valores:
y'=(3x^{2}+2)\,e^{x} + (x^{3}+2x)\,e^{x}.
Explanação: cada parcela é produto de uma das derivadas calculadas pelo passo anterior com a outra função não derivada.

Passo 5

Simplificar a expressão fatorando e^{x}, que aparece em ambas as parcelas (isso deixa a resposta mais compacta e é útil em provas):
y' = e^{x}\big(3x^{2}+2 + x^{3}+2x\big).
Agrupando os termos em ordem decrescente de potência de x:
y' = e^{x}\big(x^{3}+3x^{2}+2x+2\big).

Passo 6

Resumo final e dica de prova: a derivada fica bem organizada com e^{x} fatorado. Na prova, faça exatamente os passos: identifique u e v, calcule u' e v' com regras básicas (power rule e propriedade do e^{x}), aplique regra do produto e, por fim, simplifique fatorando termos comuns. Vai dar certo — confia, você consegue!

Resposta

y'=e^{x}\big(x^{3}+3x^{2}+2x+2\big)