Calcule a derivada da seguinte função:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
- A função fornecida é
. - O que é pedido: calcular a derivada dessa função, isto é, encontrar
ou .
Passo 2
Observação sobre a estratégia (aqui explico o que vou usar, de forma didática): a expressão é produto de duas funções de
. Quando uma função é produto de duas funções, usa-se a regra do produto. A regra do produto diz o seguinte:
Aqui:
-
é a primeira função do produto (vou escolher ); -
é a segunda função do produto (vou escolher ); -
e são as derivadas de cada uma, que vamos calcular em seguida.
Regra do produto em palavras simples: derivada do primeiro vezes o segundo + primeiro vezes derivada do segundo. Pense como “deriva uma parte e deixa a outra inteira, somando com a parte trocada”.
Passo 3
Derivar cada fator separadamente — explicando as regras usadas.
- Derivada de
.
- Regra do poder (power rule):
. - Aplicando termo a termo:
e .
Portanto
- Derivada de
.
- Propriedade fundamental da função exponencial:
.
Portanto
Passo 4
Aplicar a regra do produto substituindo
obtidos.
Substituindo os valores:
Explanação: cada parcela é produto de uma das derivadas calculadas pelo passo anterior com a outra função não derivada.
Passo 5
Simplificar a expressão fatorando
, que aparece em ambas as parcelas (isso deixa a resposta mais compacta e é útil em provas):
Agrupando os termos em ordem decrescente de potência de
:
Passo 6
Resumo final e dica de prova: a derivada fica bem organizada com
fatorado. Na prova, faça exatamente os passos: identifique
e
, calcule
e
com regras básicas (power rule e propriedade do
), aplique regra do produto e, por fim, simplifique fatorando termos comuns. Vai dar certo — confia, você consegue!