Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a segunda derivada:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
- calcular a derivada primeira
; - calcular a derivada segunda
.
Informações fornecidas: a expressão explícita de
. Não há outras restrições no enunciado (mas, para raízes reais, deve-se lembrar que a base
precisa ser positiva se quisermos a raiz real principal).
Passo 2
Vamos lembrar as regras que usaremos (explicadas de forma simples).
Regra da cadeia (ideia): se uma função
é composta
, então a derivada é
Isto significa: derivo a função externa
avaliando-a na interna
e multiplico pela derivada da parte interna
.
Regra da potência aplicada a função: se
com
constante, então pela regra da cadeia
Aqui
pode ser fração (como
) e
é qualquer função diferenciável.
Regra do produto (usada depois): se
, então
Também usaremos a derivada de polinômios: para
tem-se
. Assim, se
, então
.
Passo 3
Aplicando a regra da potência/chain rule para obter
.
Coloco
e
. Pela fórmula
Agora calculo
. Como
,
Substituindo em
,
Escrevendo de forma mais habitual (colocando o denominador positivo),
Passo 4
Agora calcular
. Vou derivar a expressão obtida para
. É mais prático usar a forma fatorada
onde
e
.
Aplicando a regra do produto (e lembrando do fator constante
):
Calculo cada termo:
-
- Para
uso a regra da cadeia: com . Então
Substituindo em
:
Passo 5
Simplifico a expressão de
. Escrevo primeiro de forma limpa:
Observação:
. Assim fatoro
em comum:
Multiplico o
para simplificar os coeficientes:
e
. Então
Para um fator comum mais compacto, fatoro
:
Como
, isso dá
Se expandirmos os termos dentro do colchete para obter um polinômio explícito:
Subtraindo,
Portanto uma forma compacta final é