Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} calcule também a segunda derivada:
h(x)=\sqrt[4]{1+2 x+x^{3}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
h(x)=\sqrt[4]{1+2x+x^{3}}=(1+2x+x^{3})^{1/4}
e pede:
  • calcular a derivada primeira h'(x);
  • calcular a derivada segunda h''(x).
Informações fornecidas: a expressão explícita de h(x). Não há outras restrições no enunciado (mas, para raízes reais, deve-se lembrar que a base 1+2x+x^3 precisa ser positiva se quisermos a raiz real principal).

Passo 2

Vamos lembrar as regras que usaremos (explicadas de forma simples).
Regra da cadeia (ideia): se uma função F é composta F(x)=G(U(x)), então a derivada é
F'(x)=G'(U(x))\cdot U'(x).
Isto significa: derivo a função externa G avaliando-a na interna U(x) e multiplico pela derivada da parte interna U'(x).
Regra da potência aplicada a função: se F(x)=U(x)^{a} com a constante, então pela regra da cadeia
F'(x)=a\,U(x)^{a-1}\cdot U'(x).
Aqui a pode ser fração (como 1/4) e U(x) é qualquer função diferenciável.
Regra do produto (usada depois): se P(x)=A(x)B(x), então
P'(x)=A'(x)B(x)+A(x)B'(x).
Também usaremos a derivada de polinômios: para p(x)=x^{n} tem-se p'(x)=n x^{n-1}. Assim, se U(x)=1+2x+x^3, então U'(x)=2+3x^2.

Passo 3

Aplicando a regra da potência/chain rule para obter h'(x).
Coloco U(x)=1+2x+x^{3} e h(x)=U(x)^{1/4}. Pela fórmula
h'(x)=\frac{1}{4}\,U(x)^{1/4-1}\cdot U'(x)=\frac{1}{4}\,U(x)^{-3/4}\cdot U'(x).
Agora calculo U'(x). Como U(x)=1+2x+x^3,
U'(x)=\frac{d}{dx}(1)+\frac{d}{dx}(2x)+\frac{d}{dx}(x^3)=0+2+3x^2=2+3x^2.
Substituindo em h'(x),
h'(x)=\frac{1}{4}\,(1+2x+x^{3})^{-3/4}\cdot(2+3x^2).
Escrevendo de forma mais habitual (colocando o denominador positivo),
h'(x)=\frac{2+3x^2}{4\,(1+2x+x^{3})^{3/4}}.

Passo 4

Agora calcular h''(x). Vou derivar a expressão obtida para h'(x). É mais prático usar a forma fatorada
h'(x)=\frac{1}{4}\,A(x)\,B(x),
onde A(x)=2+3x^2 e B(x)=(1+2x+x^3)^{-3/4}.
Aplicando a regra do produto (e lembrando do fator constante 1/4):
h''(x)=\frac{1}{4}\big(A'(x)B(x)+A(x)B'(x)\big).
Calculo cada termo:
  • A'(x)=\dfrac{d}{dx}(2+3x^2)=6x.
  • Para B'(x) uso a regra da cadeia: B(x)=U(x)^{-3/4} com U(x)=1+2x+x^3. Então
B'(x)=\left(-\frac{3}{4}\right)U(x)^{-7/4}\cdot U'(x) =\left(-\frac{3}{4}\right)(1+2x+x^3)^{-7/4}\cdot(2+3x^2).
Substituindo em h''(x):
h''(x)=\frac{1}{4}\Big(6x\,(1+2x+x^3)^{-3/4} + (2+3x^2)\cdot\Big(-\frac{3}{4}\Big)(1+2x+x^3)^{-7/4}\cdot(2+3x^2)\Big).

Passo 5

Simplifico a expressão de h''(x). Escrevo primeiro de forma limpa:
h''(x)=\frac{1}{4}\Big(6x\,(1+2x+x^3)^{-3/4} - \frac{3}{4}(2+3x^2)^2(1+2x+x^3)^{-7/4}\Big).
Observação: (1+2x+x^3)^{-3/4}=(1+2x+x^3)^{-7/4}\,(1+2x+x^3)^{1}. Assim fatoro (1+2x+x^3)^{-7/4} em comum:
h''(x)=(1+2x+x^3)^{-7/4}\cdot\frac{1}{4}\Big(6x(1+2x+x^3)-\frac{3}{4}(2+3x^2)^2\Big).
Multiplico o 1/4 para simplificar os coeficientes: \dfrac{1}{4}\cdot 6x=\dfrac{3x}{2} e \dfrac{1}{4}\cdot\left(-\dfrac{3}{4}\right)=-\dfrac{3}{16}. Então
h''(x)=(1+2x+x^3)^{-7/4}\left(\frac{3x}{2}(1+2x+x^3)-\frac{3}{16}(2+3x^2)^2\right).
Para um fator comum mais compacto, fatoro \dfrac{3}{16}:
h''(x)=\frac{3}{16}(1+2x+x^3)^{-7/4}\Big( \;16\cdot\frac{x}{2}(1+2x+x^3)- (2+3x^2)^2\;\Big).
Como 16\cdot\frac{x}{2}=8x, isso dá
h''(x)=\frac{3}{16}(1+2x+x^3)^{-7/4}\Big(8x(1+2x+x^3)-(2+3x^2)^2\Big).
Se expandirmos os termos dentro do colchete para obter um polinômio explícito:
8x(1+2x+x^3)=8x+16x^2+8x^4, \qquad (2+3x^2)^2=4+12x^2+9x^4.
Subtraindo,
8x(1+2x+x^3)-(2+3x^2)^2 = -x^4+4x^2+8x-4.
Portanto uma forma compacta final é
h''(x)=\frac{3}{16}\,(1+2x+x^3)^{-7/4}\,\big(-x^4+4x^2+8x-4\big).

Resposta

h'(x)=\frac{2+3x^2}{4\,(1+2x+x^{3})^{3/4}}
h''(x)=\frac{3}{16}\,(1+2x+x^{3})^{-7/4}\,\big(-x^4+4x^2+8x-4\big)