Calcule a derivada das seguintes funções
x^(x^x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função . Vamos utilizar conceitos de derivação de funções exponenciais e logaritmos para facilitar o cálculo. Precisaremos aplicar a regra da cadeia e a derivada de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a derivação utilizando o logaritmo natural. Seja . Aplicando o logaritmo natural dos dois lados, temos:

Passo 3

Usamos a propriedade dos logaritmos que diz . Assim:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Vamos calcular . Para isso, aplicamos novamente o logaritmo natural:
Derivando ambos os lados:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
Simplificando:

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados