Calcule as derivadas
f(x) = ln(e^x / (x + 1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função . Aqui, estamos lidando com derivadas e funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que:
Aplicando isso na nossa função, temos:

Passo 3

Agora, simplificamos ainda mais. Sabemos que o logaritmo natural de é simplesmente , porque . Então:

Passo 4

Vamos derivar em relação a . A derivada de é 1. Para a segunda parte, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde .
Então, derivando :

Passo 5

Agora, juntando tudo:

Resposta

A derivada de é:

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