Calcule as derivadas das funções abaixo: f(x) = arccos(sen x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente utilizando a regra da cadeia para derivadas. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e funções inversas, como o arco cosseno.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a derivada da função arco cosseno, , em relação a é:
Aqui, é uma função de . No nosso caso, , então vamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é:
Onde .

Passo 4

Já sabemos que e que porque . Substituindo esses valores na expressão anterior:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz, sabemos que . Então,
A raiz quadrada de é , mas considerando que a derivada precisa ser válida onde não é zero, podemos simplificar para:

Passo 6

Dependendo do intervalo de , pode ser positivo ou negativo. Então, podemos simplificar a expressão para:
Onde é a função sinal que retorna 1 se e -1 se .

Resposta

A derivada da função é:

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