Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
. Aqui estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente utilizando a regra da cadeia para derivadas. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e funções inversas, como o arco cosseno.
Passo 2
Primeiro, lembrando que a derivada da função arco cosseno,
, em relação a
é:
Aqui,
é uma função de
. No nosso caso,
, então vamos aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
Onde
.
Passo 4
Já sabemos que
e que
porque
. Substituindo esses valores na expressão anterior:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz, sabemos que
. Então,
A raiz quadrada de
é
, mas considerando que a derivada precisa ser válida onde
não é zero, podemos simplificar para:
Passo 6
Dependendo do intervalo de
,
pode ser positivo ou negativo. Então, podemos simplificar a expressão para:
Onde
é a função sinal que retorna 1 se
e -1 se
.
Resposta
A derivada da função
é: