Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\frac{\left(x^{2}-3 x\right)^{-2}}{(2 x+4)^{5}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\frac{(x^2-3x)^{-2}}{(2x+4)^5}. Esse cálculo envolve regra da cadeia e potências, e podemos usar diferenciação logarítmica para simplificar o processo.

Passo 2

Reescrevemos f como produto de potências:
f(x) = (x^2 - 3x)^{-2}\,(2x+4)^{-5}.
Tomamos logaritmo natural nos dois lados para aplicar a derivada logarítmica.

Passo 3

Definindo \ln f(x), temos
\ln f(x) = -2\ln(x^2 - 3x) \;-\; 5\ln(2x+4).
Derivando implicitamente em relação a x,
\frac{f'(x)}{f(x)} = -2\cdot\frac{2x-3}{x^2-3x} \;-\;5\cdot\frac{2}{2x+4}.

Passo 4

Colocando tudo sobre o denominador comum (x^2-3x)(2x+4), obtemos
\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{-2(2x-3)(2x+4)\;-\;10(x^2-3x)}{(x^2-3x)(2x+4)} = \frac{-18x^2 + 26x + 24}{(x^2-3x)(2x+4)}.

Passo 5

Multiplicando por f(x) e simplificando as potências resulta
f'(x) = f(x)\,\frac{-18x^2 + 26x + 24}{(x^2-3x)(2x+4)} = \frac{-18x^2 + 26x + 24}{(x^2-3x)^3(2x+4)^6}.

Resposta

\boxed{f'(x) = \frac{-18x^2 + 26x + 24}{(x^2-3x)^3(2x+4)^6}}.

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