Calcule as derivadas das funções abaixo pela regra da cadeia:
y=\sqrt[3]{x}+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
y=\sqrt[3]{x}+1.
A tarefa é encontrar \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x), usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função numa forma que facilite aplicar regras de derivação:
y = \sqrt[3]{x}+1 = x^{1/3}+1.
Aqui temos uma soma: a função x^{1/3} mais a constante 1. A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é zero. Antes de derivar, quero mostrar a ideia da regra da cadeia de forma clara: se tivermos uma função composta y=f(g(x)), então
\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x).
Nessa fórmula, f é a função exterior (aplicada por último) e g é a função interior (aplicada primeiro). Vamos identificar essas funções na nossa x^{1/3}.

Passo 3

Identificação das funções interior e exterior para usar a regra da cadeia:
Escolho
u=g(x)=x
e
f(u)=u^{1/3}.
Então f(g(x))=(g(x))^{1/3}=x^{1/3}, que é nossa parte não-constante. Agora calculo as derivadas necessárias:
  • Derivada de g(x)=x é
g'(x)=1.
  • Para f(u)=u^{1/3} uso a regra da potência: se h(t)=t^{n} então h'(t)=n\,t^{n-1}. Aplicando com n=\tfrac{1}{3},
f'(u)=\frac{1}{3}u^{-2/3}.

Passo 4

Agora aplico a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(x^{1/3}\big)=f'(g(x))\cdot g'(x)=\frac{1}{3}\big(g(x)\big)^{-2/3}\cdot 1=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Lembre que a derivada da constante 1 é 0, então somando as partes temos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}x^{-2/3}+0=\frac{1}{3}x^{-2/3}.

Passo 5

É comum reescrever x^{-2/3} usando radicais para ficar mais legível:
x^{-2/3}=\frac{1}{x^{2/3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}.
Portanto uma forma equivalente e frequentemente usada para a derivada é
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}.

Passo 6

Observação importante sobre o ponto x=0: a expressão \dfrac{1}{3}x^{-2/3} não está definida em x=0 porque envolve x com expoente negativo (divisão por zero). De fato, a derivada de x^{1/3} em 0 não existe como número finito (a curva tem tangente vertical em 0). Portanto as fórmulas acima valem para x\neq 0.

Resposta

y'=\dfrac{1}{3}x^{-2/3},\quad x\neq 0
y'=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}},\quad x\neq 0