Calcule as derivadas das funções abaixo:
y=\frac{x}{\left(1-x^{2}\right)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = \frac{x}{(1 - x^{2})^{4}}
O conteúdo que vamos usar inclui a regra do produto (ao reescrever y como produto de x por (1 - x^{2})^{-4}) e a regra da cadeia (para derivar (1 - x^{2})^{-4}).

Passo 2

Reescrevemos
y = x\,(1 - x^{2})^{-4}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto,
y' = \underbrace{(x)'}_{=1}\,(1 - x^{2})^{-4} \;+\; x\;\underbrace{\bigl((1 - x^{2})^{-4}\bigr)'}_{\text{usa cadeia}}.
Na parte da cadeia, se u = 1 - x^{2} então \bigl(u^{-4}\bigr)' = -4\,u^{-5}\,u' e u' = -2x. Logo,
\bigl((1 - x^{2})^{-4}\bigr)' = -4\,(1 - x^{2})^{-5}\,(-2x) = 8x\,(1 - x^{2})^{-5}.

Passo 4

Substituindo na expressão de y',
y' = (1 - x^{2})^{-4} + x \,\bigl[8x\,(1 - x^{2})^{-5}\bigr] = (1 - x^{2})^{-4} + 8x^{2}\,(1 - x^{2})^{-5}.
Fatorando (1 - x^{2})^{-5},
y' = (1 - x^{2})^{-5}\Bigl[(1 - x^{2}) + 8x^{2}\Bigr] = (1 - x^{2})^{-5}\,(1 + 7x^{2}).

Resposta

y' = \frac{1 + 7x^{2}}{(1 - x^{2})^{5}}.

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