Calcule as Derivadas parciais e as diferenciais totais em cada item abaixo
10. f(x, y)=x y^{2}+x y+x^{2} y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=x\,y^{2}+x\,y+x^{2}\,y
em relação a x e a y, e em seguida obter a diferencial total df. Vamos usar a definição de derivada parcial (derivar em relação a uma variável mantendo a outra fixa) e a fórmula
df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a x, tratando y como constante:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\,y\bigr).
Como y é constante:
\frac{\partial}{\partial x}(x\,y^{2}) = y^{2}, \quad \frac{\partial}{\partial x}(x\,y) = y, \quad \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}\,y) = 2x\,y.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} + y + 2x\,y.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a y, tratando x como constante:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\,y\bigr).
Como x é constante:
\frac{\partial}{\partial y}(x\,y^{2}) = 2x\,y, \quad \frac{\partial}{\partial y}(x\,y) = x, \quad \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}\,y) = x^{2}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial y} = 2x\,y + x + x^{2}.

Passo 4

Usar a fórmula da diferencial total:
df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy.
Substituindo os resultados:
df = \bigl(y^{2} + y + 2x\,y\bigr)\,dx + \bigl(2x\,y + x + x^{2}\bigr)\,dy.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} + y + 2x\,y \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = 2x\,y + x + x^{2}
df = \bigl(y^{2} + y + 2x\,y\bigr)\,dx + \bigl(2x\,y + x + x^{2}\bigr)\,dy.

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