Calcule as Derivadas parciais e as diferenciais totais em cada item abaixo
12. z=\sqrt{a{2}-x{2}-y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} em relação a x e a y, e em seguida a diferencial total \mathrm{d}z. Vamos usar a regra da cadeia para derivar a raiz quadrada e depois montar \mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, trate y e a como constantes e use
z = (a^2 - x^2 - y^2)^{1/2}.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2}(a^2 - x^2 - y^2)^{-1/2}\cdot(-2x) = -\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}.

Passo 3

De modo análogo, para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} tratamos x e a como constantes:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2}(a^2 - x^2 - y^2)^{-1/2}\cdot(-2y) = -\frac{y}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}.

Passo 4

Agora escrevemos a diferencial total combinando as parciais:
\mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x}\,\mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y}\,\mathrm{d}y = -\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}\,\mathrm{d}x -\frac{y}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}\,\mathrm{d}y.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}, \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}, \displaystyle \mathrm{d}z = -\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}\,\mathrm{d}x - \frac{y}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}\,\mathrm{d}y.

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