Calcule as derivadas parciais da função z=f(x, y), sendo:
f(x, y)=\operatorname{sen}(x y)+\log \left(y x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de z=f(x,y) dada por
f(x,y)=\sin(xy)+\log\!\bigl(yx^{2}\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é a soma de duas parcelas: \sin(xy) e \log\!\bigl(yx^{2}\bigr).
  • A expressão \log será tratada como logaritmo natural (função real), portanto o argumento precisa ser positivo: yx^{2}>0. Isso implica que y>0 e x\neq 0 (pois x^{2}\ge 0 e x^{2}=0 daria argumento zero). Esses detalhes do domínio são importantes porque as derivadas só fazem sentido no conjunto onde a função está definida como função real.
  • O que se pede são as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa):
  • Regra da cadeia (para função composta): se F(u)=g(u) e u=u(x,y), então
\frac{\partial}{\partial x} g(u(x,y))=g'(u(x,y))\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
  • Derivadas básicas:
    • \dfrac{d}{du}\sin(u)=\cos(u).
    • \dfrac{d}{du}\log(u)=\dfrac{1}{u} (para u>0).
  • Derivada de produto simples no caso de u(x,y)=x y: \dfrac{\partial}{\partial x}(xy)=y e \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=x.
  • Para u(x,y)=yx^{2}:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(yx^{2})=y\cdot 2x=2xy.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(yx^{2})=x^{2}.
Vou aplicar essas regras a cada parcela da função separadamente e depois somar os resultados (linearidade da derivada parcial).

Passo 3

Derivada parcial em relação a x da primeira parcela \sin(xy).
Aplicando a regra da cadeia com g(u)=\sin(u) e u(x,y)=xy:
\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy).
Como \dfrac{\partial}{\partial x}(xy)=y, obtemos
\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)=y\cos(xy).
Expliquei: primeiro derivamos a seno (vira cosseno avaliado em xy) e multiplicamos pela derivada interna y.

Passo 4

Derivada parcial em relação a x da segunda parcela \log\!\bigl(yx^{2}\bigr).
Usando regra da cadeia com g(u)=\log(u) e u(x,y)=yx^{2}:
\frac{\partial}{\partial x}\log\bigl(yx^{2}\bigr)=\frac{1}{yx^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(yx^{2}).
Como \dfrac{\partial}{\partial x}(yx^{2})=2xy, temos
\frac{\partial}{\partial x}\log\bigl(yx^{2}\bigr)=\frac{2xy}{yx^{2}}.
Simplificando (cancelando y e um x):
\frac{2xy}{yx^{2}}=\frac{2}{x}.
Observação alternativa (útil na prova): para x>0 e y>0 pode-se escrever \log(yx^{2})=\log y + 2\log x, então \partial/\partial x 0+2(1/x)=2/x, mesmo resultado.

Passo 5

Somando as contribuições para obter \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Da soma das parcelas:
\frac{\partial f}{\partial x}= \underbrace{y\cos(xy)}_{\text{da }\sin(xy)} \;+\; \underbrace{\frac{2}{x}}_{\text{do }\log(yx^{2})}.
Portanto,
\boxed{\frac{\partial f}{\partial x}=y\cos(xy)+\frac{2}{x}.}

Passo 6

Agora faremos \dfrac{\partial f}{\partial y}. Primeiro a parcela \sin(xy).
Aplicando regra da cadeia com u(x,y)=xy:
\frac{\partial}{\partial y}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy).
Como \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=x, obtemos
\frac{\partial}{\partial y}\sin(xy)=x\cos(xy).

Passo 7

Agora a parcela \log\!\bigl(yx^{2}\bigr) em relação a y.
Usando regra da cadeia com u(x,y)=yx^{2}:
\frac{\partial}{\partial y}\log\bigl(yx^{2}\bigr)=\frac{1}{yx^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(yx^{2}).
Como \dfrac{\partial}{\partial y}(yx^{2})=x^{2}, temos
\frac{\partial}{\partial y}\log\bigl(yx^{2}\bigr)=\frac{x^{2}}{yx^{2}}=\frac{1}{y}.
Observação alternativa: escrevendo \log(yx^{2})=\log y + 2\log x, a derivada em relação a y é simplesmente 1/y.

Passo 8

Somando as contribuições para obter \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}=x\cos(xy)+\frac{1}{y}.

Passo 9

Comentário sobre domínio e onde essas fórmulas valem: as expressões
\frac{\partial f}{\partial x}=y\cos(xy)+\frac{2}{x},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x\cos(xy)+\frac{1}{y}
são válidas nos pontos onde f está definida como função real, isto é, para yx^{2}>0. Na prática, para reais x,y isso exige y>0 e x\neq 0. Se for preciso considerar pontos com x<0 não há problema: x pode ser negativo desde que x\neq 0 e y>0 (pois x^{2}>0 sempre que x\neq 0). Em pontos fora do domínio (por exemplo y\le 0 ou x=0) a função não está definida como real e as derivadas parciais reais não existem.

Passo 10

Exemplo rápido para ganhar confiança (opcional): em x=1,\;y=2,
\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(1,2)}=2\cos(2)+\frac{2}{1}=2\cos(2)+2, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(1,2)}=1\cdot\cos(2)+\frac{1}{2}=\cos(2)+\tfrac{1}{2}.
Isso mostra como avaliar numericamente as fórmulas finais.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=y\cos(xy)+\frac{2}{x}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x\cos(xy)+\frac{1}{y}