Calcule as derivadas parciais da função z=f(x, y), sendo: f(x, y)=\operatorname{sen}(x y)+\log \left(y x^{2}\right)
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de z=f(x,y) dada por
f(x,y)=\sin(xy)+\log\!\bigl(yx^{2}\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
A função é a soma de duas parcelas: \sin(xy) e \log\!\bigl(yx^{2}\bigr).
A expressão \log será tratada como logaritmo natural (função real), portanto o argumento precisa ser positivo: yx^{2}>0. Isso implica que y>0 e x\neq 0 (pois x^{2}\ge 0 e x^{2}=0 daria argumento zero). Esses detalhes do domínio são importantes porque as derivadas só fazem sentido no conjunto onde a função está definida como função real.
O que se pede são as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Passo 2
Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa):
Regra da cadeia (para função composta): se F(u)=g(u) e u=u(x,y), então
Observação alternativa (útil na prova): para x>0 e y>0 pode-se escrever \log(yx^{2})=\log y + 2\log x, então \partial/\partial x dá 0+2(1/x)=2/x, mesmo resultado.
Passo 5
Somando as contribuições para obter \dfrac{\partial f}{\partial x}.
são válidas nos pontos onde f está definida como função real, isto é, para yx^{2}>0. Na prática, para reais x,y isso exige y>0 e x\neq 0. Se for preciso considerar pontos com x<0 não há problema: x pode ser negativo desde que x\neq 0 e y>0 (pois x^{2}>0 sempre que x\neq 0). Em pontos fora do domínio (por exemplo y\le 0 ou x=0) a função não está definida como real e as derivadas parciais reais não existem.
Passo 10
Exemplo rápido para ganhar confiança (opcional): em x=1,\;y=2,