Calcule as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede as derivadas parciais
e
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Função:
- Ponto onde avaliar:
. - Pedidos: calcular
e .
Passo 2
O que é derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a , , mede a taxa de variação de quando varia e fica fixo. - De modo análogo,
mede a taxa de variação de quando varia e fica fixo.
Método prático: tratar a outra variável como constante e derivar como se fosse função de uma única variável. Aqui é conveniente reescrever a raiz como potência para aplicar regras de derivação.
Passo 3
Reescrevendo
como potência:
Vamos usar a regra da cadeia: se
com
, então
Aqui
. Agora calculamos
tratando
como constante:
Passo 4
Aplicando a fórmula da cadeia para
:
Simplificando os
:
Agora avaliamos em
. Primeiro calcule o denominador em
:
Portanto
Passo 5
Agora
. Repetimos o procedimento: com
,
pois
é tratado como constante.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia para
:
Simplificando:
Avaliar em
usando
já calculado:
Passo 7
Breu comentário intuitivo (motiva e anima):
é a inclinação de
na direção
mantendo
fixo;
é a inclinação na direção
. Note que a variação em
é maior porque a função pesa
por um fator
dentro da raiz.