Calcule as derivadas parciais indicadas.
z=\sqrt{x^{2}+4 y^{2}} ; \partial z / \partial x(1,2), \partial z / \partial y(1,2)

Passo 1

O enunciado nos dá a função z=\sqrt{x^{2}+4y^{2}} e pede as derivadas parciais \dfrac{\partial z}{\partial x}(1,2) e \dfrac{\partial z}{\partial y}(1,2).
Informações relevantes:
  • Função: z(x,y)=\sqrt{x^{2}+4y^{2}}.
  • Ponto onde avaliar: (x,y)=(1,2).
  • Pedidos: calcular \dfrac{\partial z}{\partial x}(1,2) e \dfrac{\partial z}{\partial y}(1,2).

Passo 2

O que é derivada parcial?
  • A derivada parcial de z em relação a x, \dfrac{\partial z}{\partial x}, mede a taxa de variação de z quando x varia e y fica fixo.
  • De modo análogo, \dfrac{\partial z}{\partial y} mede a taxa de variação de z quando y varia e x fica fixo.
    Método prático: tratar a outra variável como constante e derivar como se fosse função de uma única variável. Aqui é conveniente reescrever a raiz como potência para aplicar regras de derivação.

Passo 3

Reescrevendo z como potência:
z=(x^{2}+4y^{2})^{1/2}.
Vamos usar a regra da cadeia: se z=(u)^{1/2} com u=u(x,y), então
\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}.
Aqui u(x,y)=x^{2}+4y^{2}. Agora calculamos \dfrac{\partial u}{\partial x} tratando y como constante:
\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+4y^{2})=2x+0=2x.

Passo 4

Aplicando a fórmula da cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial x}:
\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{2}(x^{2}+4y^{2})^{-1/2}\cdot 2x
Simplificando os 2:
\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+4y^{2}}}.
Agora avaliamos em (1,2). Primeiro calcule o denominador em (1,2):
\sqrt{1^{2}+4\cdot 2^{2}}=\sqrt{1+4\cdot 4}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}.
Portanto
\dfrac{\partial z}{\partial x}(1,2)=\dfrac{1}{\sqrt{17}}.

Passo 5

Agora \dfrac{\partial z}{\partial y}. Repetimos o procedimento: com u(x,y)=x^{2}+4y^{2},
\dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}+4y^{2})=0+8y=8y,
pois x é tratado como constante.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial y}:
\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{1}{2}(x^{2}+4y^{2})^{-1/2}\cdot 8y.
Simplificando:
\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{4y}{\sqrt{x^{2}+4y^{2}}}.
Avaliar em (1,2) usando \sqrt{x^{2}+4y^{2}}=\sqrt{17} já calculado:
\dfrac{\partial z}{\partial y}(1,2)=\dfrac{4\cdot 2}{\sqrt{17}}=\dfrac{8}{\sqrt{17}}.

Passo 7

Breu comentário intuitivo (motiva e anima): \dfrac{\partial z}{\partial x}(1,2)=\dfrac{1}{\sqrt{17}} é a inclinação de z na direção x mantendo y fixo; \dfrac{\partial z}{\partial y}(1,2)=\dfrac{8}{\sqrt{17}} é a inclinação na direção y. Note que a variação em y é maior porque a função pesa y por um fator 4 dentro da raiz.

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial x}(1,2)=\dfrac{1}{\sqrt{17}}
\dfrac{\partial z}{\partial y}(1,2)=\dfrac{8}{\sqrt{17}}