Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
w=\operatorname{arcsec}(x y z)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de w=\arcsec(xyz). O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para funções compostas e a derivada de \arcsec(u). Vamos usar a fórmula
\frac{d}{du}\arcsec(u)=\frac{1}{\lvert u\rvert\sqrt{u^2-1}}
e as derivadas parciais de u=xyz.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}, aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial x} =\frac{d}{du}\arcsec(u)\,\frac{\partial}{\partial x}(xyz) =\frac{1}{\lvert u\rvert\sqrt{u^2-1}}\cdot yz.
Assumindo u=xyz>1, temos \lvert u\rvert=u, logo
\frac{\partial w}{\partial x} =\frac{yz}{xyz\sqrt{(xyz)^2-1}} =\frac{1}{x\sqrt{(xyz)^2-1}}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}, análogo, pois \partial(xyz)/\partial y = xz:
\frac{\partial w}{\partial y} =\frac{xz}{xyz\sqrt{(xyz)^2-1}} =\frac{1}{y\sqrt{(xyz)^2-1}}.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}, usando \partial(xyz)/\partial z = xy:
\frac{\partial w}{\partial z} =\frac{xy}{xyz\sqrt{(xyz)^2-1}} =\frac{1}{z\sqrt{(xyz)^2-1}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{1}{x\sqrt{(xyz)^2-1}} \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{1}{y\sqrt{(xyz)^2-1}} \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z} = \frac{1}{z\sqrt{(xyz)^2-1}}

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