Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do poder e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação:
Assim, podemos aplicar a regra do poder para derivar.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras derivadas parciais em relação a
,
e
.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente as primeiras derivadas parciais.
Para
:
Aplicando a regra do poder e a regra do produto, obtemos:
Para
:
Após derivar, temos:
E assim por diante para as demais derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 5
Agora, vamos para as derivadas de terceira ordem. Isso envolve derivar novamente as derivadas de segunda ordem.
Por exemplo, para
:
Aplicando a regra do poder:
Continuamos esse processo para calcular todas as derivadas parciais de terceira ordem necessárias.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem de
são:
]
E assim sucessivamente para as demais combinações de derivadas de segunda ordem, seguindo o mesmo método para as derivadas de terceira ordem conforme exemplificado.