Calcule o determinante dado por meio da redução à forma triangular.
\left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\\\ 3 & 2 & 0 \\\\ 1 & 4 & 3\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\[6pt] 3 & 2 & 0 \\[6pt] 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}
usando redução à forma triangular. O conteúdo é cálculo de determinante via operações elementares de linha, que não alteram o valor do determinante quando fazemos substituição do tipo R_i\leftarrow R_i + k\,R_j.]

Passo 2

Eliminamos os termos abaixo do pivô da primeira coluna ( a_{11}=1) fazendo
R_2 \leftarrow R_2 - 3\,R_1, \quad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Isso leva a
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\[4pt] 0 & -4 & 3 \\[4pt] 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora eliminamos o termo abaixo do pivô da segunda coluna ( a_{22}=-4) fazendo
R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac12\,R_2.
Como 2 + \tfrac12(-4)=0, obtemos a forma triangular superior
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\[4pt] 0 & -4 & 3 \\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{11}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Em forma triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Como usamos apenas operações R_i\leftarrow R_i + k\,R_j, o determinante não mudou durante a redução. Logo,
\det = 1 \times (-4) \times \tfrac{11}{2}.

Passo 5

Calculando o produto:
1 \times (-4) \times \tfrac{11}{2} = -\tfrac{44}{2} = -22.

Resposta

-22

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