Calcule o determinante e a matriz inversa (se existir) de cada item abaixo
\left|\begin{array}{cccc}3 & 1 & -2 & 1 \\\\ 2 & 5 & 2 & 3 \\\\ 7 & 4 & -5 & 0 \\\\ 1 & -1 & 11 & 2\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante e da inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 & 1\\\\ 2 & 5 & 2 & 3\\\\ 7 & 4 & -5 & 0\\\\ 1 & -1 & 11 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo principal é eliminação de Gauss para obter um sistema triangular (para o determinante) e, em seguida, resolução de sistemas A x = e_i (para cada coluna da inversa).

Passo 2

Calculemos \det A por eliminação de Gauss direta (sem trocar linhas). Após três passos de eliminação obtemos uma forma triangular cujos pivôs na diagonal são
u_{11} = 3,\quad u_{22} = \frac{13}{3},\quad u_{33} = -\frac{21}{13},\quad u_{44} = -\frac{299}{13}.
Logo
\det A \;=\; 3\;\times\;\frac{13}{3}\;\times\;\Bigl(-\frac{21}{13}\Bigr)\;\times\;\Bigl(-\frac{299}{13}\Bigr) \;=\;483.

Passo 3

Para achar A^{-1}, resolvemos em seguida os quatro sistemas
A\,x = e_i,\quad i=1,2,3,4,
usando a mesma eliminação (os mesmos multiplicadores) e fazendo depois o “back‐substitution”. Cada solução x será a i-ésima coluna de A^{-1}.

Passo 4

Após aplicar os passos de eliminação e depois voltar substituindo, encontra-se que
A^{-1} \;=\;\frac{1}{483}\begin{pmatrix} 51 & -45 & 54 & 42\\\\ -198& 80 & 65 & -21\\\\ -87 & 1 & 31 & 42\\\\ 354 & 57 & -165 & -21 \end{pmatrix}.

Resposta

\displaystyle \det A = 483. \displaystyle A^{-1} = \frac{1}{483}\begin{pmatrix} 51 & -45 & 54 & 42\\\\ -198& 80 & 65 & -21\\\\ -87 & 1 & 31 & 42\\\\ 354 & 57 & -165 & -21 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados