Calcule o determinante das matrizes abaixo usando a expansão de Laplace (expansão em cofatores):
(a) A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4 \\\\ -4 & 2 & 1 & 3 \\\\ 3 & 0 & 0 & -3 \\\\ 2 & 0 & -2 & 3\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para calcular \det(A) da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4 \\[6pt] -4 & 2 & 1 & 3 \\[6pt] 3 & 0 & 0 & -3 \\[6pt] 2 & 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}
usando expansão de Laplace (cofatores). Vamos escolher uma linha ou coluna com zeros para simplificar o trabalho.]

Passo 2

Observando A, a coluna 2 tem dois zeros a_{3,2}=0 e a_{4,2}=0, então expandimos \det(A) ao longo dessa coluna. Usando
\det(A)=\sum_{i=1}^{4}a_{i,2}\,C_{i,2},
onde C_{i,2}=(-1)^{i+2}M_{i,2} é o cofator, obtemos
\det(A) = a_{1,2}C_{1,2} \;+\; a_{2,2}C_{2,2} = 2\bigl(-1\bigr)^{1+2}M_{1,2}\;+\;2\bigl(-1\bigr)^{2+2}M_{2,2} = -2\,M_{1,2} \;+\;2\,M_{2,2}.

Passo 3

Calculamos o menor M_{1,2}, que é o determinante da submatriz obtida ao remover linha 1 e coluna 2:
M_{1,2} =\det\begin{pmatrix} -4 & 1 & 3 \\[4pt] 3 & 0 & -3 \\[4pt] 2 & -2 & 3 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
M_{1,2} = -4\det\begin{pmatrix}0 & -3\\\ -2 & 3\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}3 & -3\\\ 2 & 3\end{pmatrix} +3\det\begin{pmatrix}3 & 0\\\ 2 & -2\end{pmatrix}.
Calculando cada 2\times 2:
\det\begin{pmatrix}0 & -3\\\ -2 & 3\end{pmatrix} =0\cdot3 -(-3)\cdot(-2)=-6,
\det\begin{pmatrix}3 & -3\\\ 2 & 3\end{pmatrix} =3\cdot3 -(-3)\cdot2=9+6=15,
\det\begin{pmatrix}3 & 0\\\ 2 & -2\end{pmatrix} =3\cdot(-2)-0\cdot2=-6.
Logo
M_{1,2} = -4\cdot(-6)\;-\;1\cdot15\;+\;3\cdot(-6) =24 -15 -18 = -9.]

Passo 4

Agora o menor M_{2,2}, removendo linha 2 e coluna 2:
M_{2,2} =\det\begin{pmatrix} 1 & -3 & 4 \\[4pt] 3 & 0 & -3 \\[4pt] 2 & -2 & 3 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
M_{2,2} =1\det\begin{pmatrix}0 & -3\\\ -2 & 3\end{pmatrix} -(-3)\det\begin{pmatrix}3 & -3\\\ 2 & 3\end{pmatrix} +4\det\begin{pmatrix}3 & 0\\\ 2 & -2\end{pmatrix}.
Já conhecemos os três 2\times 2: -6, 15 e -6. Assim
M_{2,2} =1\cdot(-6)\;+\;3\cdot15\;+\;4\cdot(-6) =-6 +45 -24 =15.]

Passo 5

Substituindo em
\det(A) = -2\,M_{1,2} + 2\,M_{2,2} = -2\cdot(-9) + 2\cdot15 =18 +30 =48.

Resposta

48

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