Calcule os determinantes:
\left|\begin{array}{cc}\log a & \log b \\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
M = \begin{pmatrix} \log a & \log b \\[6pt] \tfrac12 & \tfrac14 \end{pmatrix}
e pede o valor de \det(M). O conteúdo usado será a definição de determinante de matriz 2\times2 e propriedades de logaritmo.]

Passo 2

A definição de determinante de uma matriz \begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}
é
\det = m_{11}m_{22} - m_{12}m_{21}.
Aplicando a M, temos
\det(M) = (\log a)\,\tfrac14 \;-\; (\log b)\,\tfrac12 = \frac{\log a}{4} - \frac{\log b}{2}.

Passo 3

Podemos colocar em evidência \tfrac14 e usar \log b^2 = 2\log b:
\frac{\log a}{4} - \frac{\log b}{2} = \frac{1}{4}\bigl(\log a - 2\log b\bigr) = \frac{1}{4}\bigl(\log a - \log b^2\bigr) = \frac{1}{4}\,\log\!\bigl(\tfrac{a}{b^2}\bigr).

Resposta

\frac{1}{4}\,\log\!\Bigl(\frac{a}{b^2}\Bigr).

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