Calcule os determinantes das matrizes a seguir utilizando a Expansão de Laplace:
\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\\\ 3 & 4 & 5 \\\\ 6 & 7 & 8\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\[6pt] 3 & 4 & 5 \\[6pt] 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}
usando a expansão de Laplace. Vamos precisar formular cofactores e menores de ordem 2.]

Passo 2

Como a entrada a_{13}=0, é conveniente expandir ao longo da primeira linha. Pela regra de Laplace,
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}.

Passo 3

Calculamos cada menor, cofactor e termo da soma:
Para i=1,j=1:
M_{11}=\begin{vmatrix}4 & 5\\\ 7 & 8\end{vmatrix} =4\cdot8-5\cdot7=-3, \qquad C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=-3,
termo a_{11}C_{11}=1\cdot(-3)=-3.
Para i=1,j=2:
M_{12}=\begin{vmatrix}3 & 5\\\ 6 & 8\end{vmatrix} =3\cdot8-5\cdot6=-6, \qquad C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=6,
termo a_{12}C_{12}=2\cdot6=12.
Para i=1,j=3:
M_{13}=\begin{vmatrix}3 & 4\\\ 6 & 7\end{vmatrix} =3\cdot7-4\cdot6=-3, \qquad C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=-3,
mas a_{13}=0, logo o termo é 0.

Passo 4

Somando os três termos:
\det(A) = -3 + 12 + 0 = 9.

Resposta

9

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