Calcule o diâmetro mínimo do eixo para seu ponto de tensão máxima, por critério estático, considerando: i) material: aço AISI 1050 (condição: laminado), ii) coeficiente de segurança: S_{g} \approx 4. Observação: arredonde o valor obtido para o próximo valor superior na série R20 de Renard.

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e quais informações ele deu (apenas o que foi fornecido).
O enunciado pergunta: calcular o diâmetro mínimo do eixo no ponto de tensão máxima, por critério estático, com:
  • material: aço AISI 1050 (condição: laminado);
  • coeficiente de segurança: S_{g}\approx4;
  • observação: arredondar o valor obtido para o próximo valor superior na série R20 de Renard.
Informações explicitamente fornecidas:
  • material: AISI 1050 (laminado);
  • coeficiente de segurança: S_{g}\approx4;
  • regra de arredondamento: próximo valor superior da série R20.
Informações que faltam e que são essenciais para calcular numericamente o diâmetro:
  • carregamento no eixo no ponto de tensão máxima: é preciso saber pelo menos o momento fletor M e/ou o torque T atuantes naquele ponto (ou forças que permitam calcular M e T);
  • ou a tensão admissível ou a resistência do material utilizada (por exemplo, limite de escoamento \sigma_{y} ou tensão admissível já ajustada), caso o enunciado quisesse usar um valor específico diferente do que o material normalmente tem;
  • detalhes geométricos ou concentradores de tensão (frestas, entalhes, raios de filete) se houver, porque isso altera a tensão efetiva por fatores de concentração.
Como essas quantidades (principalmente M e/ou T e o valor numérico de \sigma_{y} a usar) não foram fornecidas, não há dados suficientes para obter um valor numérico do diâmetro mínimo. Não é correto inventar carregamentos nem assumir implicitamente tensões admissíveis sem que o enunciado autorize.

Passo 2

Explicando didaticamente qual critério e fórmula se usa quando as informações estiverem completas (vou ensinar o procedimento passo a passo para que você consiga aplicar na prova assim que tiver os valores de carregamento).
Decisão do critério estático:
  • Para projeto estático de eixo de material dúctil (aço), o critério mais usado é o critério de resistência baseado na tensão equivalente do tipo von Mises (também chamado de energia de deformação), porque ele representa bem a resistência à escoamento em estados de tensões multiaxiais.
  • Alternativa: critério de Tresca (máxima tensão de cisalhamento) também é usado por vezes; von Mises é mais conservador/realista para muitos casos de aço dúctil. Vou seguir von Mises (se o enunciado pedir explicitamente Tresca, o procedimento muda ligeiramente).

Passo 3

Fórmulas de tensões para eixo circular sujeito a momento fletor M e torque T (a forma mais comum de combinação em eixos):
  • tensão normal por flexão no bordo da seção (máxima) é
\sigma_{b}=\dfrac{32\,M}{\pi d^{3}},
onde:
  • \sigma_{b} é a tensão normal máxima por flexão (unidade: mesma de M/d^3, normalmente MPa),
  • M é o momento fletor no ponto considerado (unidades: N·m ou N·mm — usar unidades coerentes),
  • d é o diâmetro do eixo (mesmas unidades que usamos em M quando convertido).
  • tensão tangencial por torção (cisalhamento) é
\tau_{t}=\dfrac{16\,T}{\pi d^{3}},
onde:
  • \tau_{t} é a tensão de cisalhamento máxima por torque,
  • T é o torque aplicado (unidades coerentes).
Observação rápida sobre fatores: as fórmulas acima vêm da teoria de resistência dos materiais para seção circular maciça: \sigma = M y / I com I=\pi d^4/64 e y=d/2; para torque usa-se \tau = T r / J com J=\pi d^4/32 e r=d/2. Se quiser, eu explico a dedução dessas fórmulas passo a passo também.

Passo 4

Tensão equivalente de von Mises (para combinação de uma tensão normal \sigma e uma tensão de cisalhamento \tau, no caso típico de flexão + torção em eixo circular):
\sigma_{\text{eq}}=\sqrt{\sigma_{b}^{2}+3\,\tau_{t}^{2}}.
Este valor de \sigma_{\text{eq}} é comparado com a tensão admissível obtida a partir do material dividindo o limite de escoamento por S_{g} (se o critério for proteger contra escoamento estático):
Tensão admissível:
\sigma_{\text{adm}}=\dfrac{\sigma_{y}}{S_{g}},
onde \sigma_{y} é o limite de escoamento do material e S_{g} é o coeficiente de segurança.
Condição de projeto (segurança):
\sigma_{\text{eq}}\le \sigma_{\text{adm}}.

Passo 5

Agora elimino \sigma_{b} e \tau_{t} e resolvo para d em função de M, T e \sigma_{\text{adm}}. Substituindo as expressões de \sigma_{b} e \tau_{t} na expressão de von Mises:
\sigma_{\text{eq}}=\sqrt{\left(\dfrac{32M}{\pi d^{3}}\right)^{2}+3\left(\dfrac{16T}{\pi d^{3}}\right)^{2}}.
Fatorando 1/(\pi^{2} d^{6}) e os números:
\sigma_{\text{eq}}=\dfrac{1}{\pi d^{3}}\sqrt{32^{2}M^{2}+3\cdot16^{2}T^{2}}.
Como 32^{2}=1024 e 16^{2}=256, temos 1024M^{2}+768T^{2}=256(4M^{2}+3T^{2}). Portanto:
\sigma_{\text{eq}}=\dfrac{16}{\pi d^{3}}\sqrt{4M^{2}+3T^{2}}.
Impondo \sigma_{\text{eq}}\le\sigma_{\text{adm}} e resolvendo para d:
\dfrac{16}{\pi d^{3}}\sqrt{4M^{2}+3T^{2}}\le\sigma_{\text{adm}} \quad\Longrightarrow\quad d^{3}\ge \dfrac{16}{\pi\sigma_{\text{adm}}}\sqrt{4M^{2}+3T^{2}}.
Logo o diâmetro mínimo (teórico) é
d_{\min}=\left(\dfrac{16}{\pi\sigma_{\text{adm}}}\sqrt{4M^{2}+3T^{2}}\right)^{1/3}.
Aqui:
  • M e T devem estar nas mesmas unidades (por ex. N·mm) e \sigma_{\text{adm}} em N/mm ^2 (MPa), para d em mm;
  • \sigma_{\text{adm}}=\dfrac{\sigma_{y}}{S_{g}} com S_{g}\approx4 conforme enunciado.

Passo 6

Casos especiais fáceis (úteis na prova):
  • Se houver apenas flexão (ou flexão dominante com T=0):
d_{\min}=\left(\dfrac{32M}{\pi\sigma_{\text{adm}}}\right)^{1/3}.
  • Se houver apenas torção (ou torção dominante com M=0):
d_{\min}=\left(\dfrac{16T}{\pi\tau_{\text{adm}}}\right)^{1/3},
mas atenção: se usar von Mises em torção pura, \tau_{\text{adm}} costuma ser tomada como \sigma_{\text{adm}}/\sqrt{3} se se partir de um \sigma_{\text{adm}} obtido por escoamento uniaxial, porque von Mises relaciona \tau e \sigma_{y}. É mais direto aplicar a fórmula geral do Passo 5.

Passo 7

Sobre a propriedade do material que aparece na fórmula: \sigma_{y}
  • Para aplicar a fórmula numérica é preciso um valor numérico para o limite de escoamento \sigma_{y} do AISI 1050 na condição “laminado”. Esse valor geralmente vem da ficha técnica do material ou do enunciado da prova.
  • Valores típicos (apenas referência; na prova use o valor especificado pelo enunciado ou pela norma do material): para aço médio-carbono AISI 1050 laminado, \sigma_{y} pode estar na ordem de algumas centenas de MPa (ex.: \sim 300 450 MPa), dependendo do tratamento térmico/laminação. Não use um valor “típico” se a prova fornecer o valor exato — use o da prova.

Passo 8

Como arredondar para a série R20 de Renard (procedimento):
  • A série R20 contém 20 valores “preferenciais” por década na forma 10^{k/20} multiplicados pela potência de 10 adequada. Para arredondar:
    1. calcule d_{\min} numérico (em mm);
    2. encontre a potência de 10 que coloca d_{\min} na faixa [1,10), isto é escreva d_{\min}=r\cdot10^{n} com 1\le r<10;
    3. consulte os valores padrão da série R20 na faixa [1,10) (cada valor é 10^{k/20} para k=0,1,\dots,19);
    4. escolha o menor valor r_{\text{R20}} da série R20 tal que r_{\text{R20}}\ge r (ou seja, o próximo valor superior na série);
    5. o diâmetro comercial escolhido será d_{\text{R20}}=r_{\text{R20}}\cdot10^{n}.
  • Se preferir, pode procurar uma tabela pronta da série R20 e escolher o menor valor da tabela que seja maior ou igual ao d_{\min} calculado.
Se quiser, eu posso fornecer a tabela completa da série R20 ou fazer o arredondamento para você assim que você me der o valor numérico de d_{\min} (ou me informar M, T e o valor de \sigma_{y} que devo usar).

Passo 9

Resumo prático para aplicar na prova (checklist rápido que você pode seguir na hora):
  1. Recolher os dados: obter M e T no ponto crítico e o valor de \sigma_{y} do aço dado.
  2. Calcular \sigma_{\text{adm}}=\dfrac{\sigma_{y}}{S_{g}} com S_{g}=4.
  3. Calcular
d_{\min}=\left(\dfrac{16}{\pi\sigma_{\text{adm}}}\sqrt{4M^{2}+3T^{2}}\right)^{1/3}.
  1. Converter unidades consistentemente (por ex. N·mm e MPa = N/mm ^2, então d em mm).
  2. Arredondar d_{\min} para o próximo valor superior da série R20 conforme o procedimento do Passo 8.
  3. Reportar o diâmetro escolhido e, se for o caso, verificar a tensão equivalente final com esse diâmetro para confirmar segurança.

Resposta

Não é possível calcular numericamente o diâmetro mínimo porque o enunciado não fornece os carregamentos necessários (momento fletor M e/ou torque T no ponto crítico) nem um valor numérico do limite de escoamento \sigma_{y} a ser usado. Forneça M e/ou T e o valor de \sigma_{y} (ou indique que eu use um valor típico) que eu calculo o d_{\min} e faço o arredondamento para a série R20.

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