3.13 Sabendo que a força de tração no cabo BD é de 1300 N , determine as reações no suporte fixo do ponto C.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as reações no suporte fixo do ponto C, sabendo que a tração no cabo BD vale 1300\\ \text{N}.
Informações importantes (peguei estes números da imagem):
  • Força em A: queda vertical para baixo de \,750\\ \text{N}.\
  • Distância horizontal de A até o eixo vertical do suporte C: \,500\\ \text{mm}.\
  • A parte vertical do quadro até a barra superior (nível da placa esquerda) tem altura \,400\\ \text{mm} acima de C.\
  • A força horizontal de \,450\\ \text{N} aponta para a esquerda e atua em um ponto do corpo localizado na parede vertical; esse ponto está na metade da altura de 400\\ \text{mm} (ou seja, a 200\\ \text{mm} acima de C) — isto foi inferido pela figura, pois o ponto marcado está no meio da altura mostrada.
  • A articulação/olhal B está à direita do eixo do suporte; da figura extraíram-se as distâncias horizontais: \,150\\ \text{mm} da linha vertical do topo até um ponto intermédio e mais \,250\\ \text{mm} até a vertical do pé D (na prática, usei a informação que o deslocamento horizontal entre B e D é \,250\\ \text{mm}).
  • A coordenada vertical de B em relação ao solo (ponto onde D toca o chão) é \,600\\ \text{mm} (isto está indicado na figura como altura vertical entre B e D).
  • A tração no cabo BD é \,1300\\ \text{N} (dada).
O objetivo é obter as reações no suporte fixo em C. Como o suporte é fixo, haverá:
  • força de reação horizontal \,C_x,
  • força de reação vertical \,C_y,
  • momento de reação no suporte \,M_C.

Passo 2

Primeiro vamos decompor a força de tração no cabo BD em componentes horizontais e verticais. Explicando a ideia de maneira didática: uma força aplicada ao longo de uma linha oblíqua pode ser substituída por duas forças perpendiculares (uma horizontal e uma vertical) que têm o mesmo efeito na placa. Para obter essas componentes usamos semelhança de triângulos (ou cosseno/seno) a partir das diferenças de coordenadas entre B e D.
Do que pegamos da figura:
  • deslocamento horizontal entre B e D: \Delta x = 250\\ \text{mm},
  • deslocamento vertical entre B e D: \Delta y = -600\\ \text{mm} (negativo porque D está abaixo de B).
Comprimento do cabo BD:
L_{BD}=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{250^2+600^2}\\ \text{mm}=\sqrt{62\,500+360\,000}\\ \text{mm}=\sqrt{422\,500}\\ \text{mm}=650\\ \text{mm}.
Para achar as componentes, multiplicamos a tensão pelo cosseno correspondente (ou usamos razão dos catetos):
  • componente horizontal (positiva para a direita):
F_{BD,x}=T\frac{\Delta x}{L_{BD}}=1300\cdot\frac{250}{650}=1300\cdot\frac{5}{13}=500\\ \text{N}.
  • componente vertical (positiva para cima):
F_{BD,y}=T\frac{\Delta y}{L_{BD}}=1300\cdot\frac{-600}{650}=1300\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)=-1200\\ \text{N}.
Interpretação: a tração puxa para a direita com 500\\ \text{N} e puxa para baixo com 1200\\ \text{N}.
(Comentário didático: obter a razão \tfrac{250}{650}=\tfrac{5}{13} e \tfrac{600}{650}=\tfrac{12}{13} é só simplificar os números; estes são os “cosenos/senos” da direção do cabo.)

Passo 3

Agora escrevemos as equações de equilíbrio de forças no plano (somatório de forças nulas). Convenção de sinais: eixo x para a direita positivo; eixo y para cima positivo.
Somatório das forças na direção x:
\sum F_x = 0 \quad\Rightarrow\quad C_x + F_{BD,x} + F_{450,x} = 0.
As contribuições horizontais são:
  • F_{BD,x}=+500\\ \text{N} (à direita),
  • a força de 450\\ \text{N} está apontando para a esquerda: F_{450,x}=-450\\ \text{N}.
    Substituindo:
C_x + 500 - 450 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_x = -50\\ \text{N}.
Interpretação: C_x negativo no nosso sistema significa que a reação no suporte aponta para a esquerda com magnitude 50\\ \text{N}.
Somatório das forças na direção y:
\sum F_y = 0 \quad\Rightarrow\quad C_y + F_{BD,y} + F_{A,y} = 0.
As contribuições verticais são:
  • F_{BD,y}=-1200\\ \text{N} (para baixo),
  • F_{A,y}=-750\\ \text{N} (a força em A é para baixo).
    Substituindo:
C_y -1200 -750 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_y = 1950\\ \text{N}.
Interpretação: reação vertical em C é 1950\\ \text{N} para cima.

Passo 4

Agora determinamos o momento de reação M_C. Usamos o somatório de momentos em torno de C (equivalente a usar o momento de todas as forças externas; o momento do par reação em C deve equilibrar isso). Fórmula do momento em plano para um vetor posição r=(x,y) e força F=(F_x,F_y) é:
M_z = xF_y - yF_x.
Vamos calcular o momento devido a cada força externa (positivo no sentido anti-horário).
  1. Momento da força em A. Posição de A: x_A=-500\\ \text{mm},\\ y_A=400\\ \text{mm}. Força F_A=(0,-750)\\ \text{N}.
M_A = x_A F_{A,y} - y_A F_{A,x} = (-500)(-750) - 400\cdot 0 = 375\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
  1. Momento da força de 450\\ \text{N}. Posição do ponto onde age: x=0,\\ y=200\\ \text{mm}. Força F_{450}=(-450,0)\\ \text{N}.
M_{450} = x F_{450,y} - y F_{450,x} = 0\cdot 0 - 200\cdot(-450) = +90\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
  1. Momento da tração em B. Posição de B: x_B=+150\\ \text{mm},\\ y_B=600\\ \text{mm}. Força F_{BD}=(+500,-1200)\\ \text{N}.
M_{BD} = x_B F_{BD,y} - y_B F_{BD,x} = 150\cdot(-1200) - 600\cdot(500) = -180\,000 - 300\,000 = -480\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Somando todos os momentos externos:
\sum M_{\text{ext}} = M_A + M_{450} + M_{BD} = 375\,000 + 90\,000 - 480\,000 = -15\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Equilíbrio de momentos exige que a soma dos momentos externas mais o momento de reação no apoio seja zero:
M_C + \sum M_{\text{ext}} = 0 \quad\Rightarrow\quad M_C - 15\,000\\ (\text{com sinal})=0.
Como \sum M_{\text{ext}}=-15\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm}, isso implica
M_C = +15\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Converter para N·m (unidade mais usual):
M_C = \frac{15\,000}{1000}=15\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Sinal positivo indica que o momento de reação em C é no sentido anti-horário (sentido positivo adotado).

Passo 5

Interpretação final em termos de direções:
  • C_x=-50\\ \text{N} significa reação horizontal de 50\\ \text{N} apontando para a esquerda.
  • C_y=1950\\ \text{N} significa reação vertical de 1950\\ \text{N} apontando para cima.
  • M_C=15\\ \text{N}\cdot\text{m} no sentido anti-horário.

Resposta

C_x = 50\\ \text{N} (para a esquerda)
C_y = 1950\\ \text{N} (para cima)
M_C = 15\\ \text{N}\cdot\text{m} (sentido anti-horário)

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