Calcule a diferença de pressão do etanol entre as duas faces de uma gotícula esférica de 330 nm de raio, a 293 K . A tensão superficial do etanol a 293 K é de 22,4 m.N.m-1.

Passo 1

O problema pede para calcular a diferença de pressão entre as duas faces (interior e exterior) de uma gotícula esférica de etanol. As informações dadas são:
\text{raio } = 330\\ \text{nm},
\text{temperatura } = 293\\ \text{K} \quad(\text{apenas para referência; a tensão superficial já é dada}),êãáé
\text{tensão superficial do etanol a }293\\ \text{K} = 22{,}4\\ \text{mN}\,\text{m}^{-1}.ã
A pergunta é: qual é a diferença de pressão \Delta P entre as duas faces da gotícula?

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicação didática):
Quando temos uma superfície curva entre dois fluidos (aqui: etanol e ar), existe uma diferença de pressão entre os dois lados da superfície devido à tensão superficial. Para uma superfície esférica (gotícula perfeita), a fórmula de Laplace dá essa diferença como
\Delta P = \frac{2\gamma}{R},
onde:
  • \Delta P é a diferença de pressão entre o interior e o exterior da gotícula (normalmente pressão interna menos externa), medida em pascal ( \text{Pa}),
  • \gamma é a tensão superficial do líquido, em \text{N}\,\text{m}^{-1},
  • R é o raio da gotícula, em metros ( \text{m}).
    Breve motivo dessa fórmula: numa esfera as duas curvaturas principais valem 1/R, e a soma delas aparece multiplicando \gamma, resultando em 2\gamma/R. Não precisa decorar além disso; na prova aplique direto esta relação quando for uma gota esférica.

Passo 3

Converter as unidades para o SI (explicando cada passo):
A tensão superficial foi dada como 22{,}4\\ \text{mN}\,\text{m}^{-1}. Para o SI usamos \text{N}\,\text{m}^{-1}, então
\gamma = 22{,}4\\ \text{mN}\,\text{m}^{-1} = 22{,}4\times10^{-3}\\ \text{N}\,\text{m}^{-1}.
O raio foi dado em nanômetros; para metros:
R = 330\\ \text{nm} = 330\times10^{-9}\\ \text{m}.

Passo 4

Substituir na fórmula de Laplace (mostrando cada termo):
A fórmula é
\Delta P = \frac{2\gamma}{R}.
Substituindo \gamma e R convertidos:
\Delta P = \frac{2\cdot\bigl(22{,}4\times10^{-3}\bigr)}{330\times10^{-9}}\\ \text{Pa}.

Passo 5

Fazer a conta passo a passo (sem pular etapas):
Primeiro calcule o numerador:
2\cdot 22{,}4\times10^{-3} = 44{,}8\times10^{-3}.
Agora divida por 330\times10^{-9}:
\Delta P = \frac{44{,}8\times10^{-3}}{330\times10^{-9}}.
Separe potências de dez:
\Delta P = \frac{44{,}8}{330}\times10^{6}\\ \text{Pa}.
Calcule a fracção \dfrac{44{,}8}{330}. Se fizer na cabeça, reduzindo ambos por 11:
\frac{44{,}8}{330}=\frac{4{,}072727\ldots}{30}\approx 0{,}1357576\ldots
Multiplicando por 10^{6}:
\Delta P \approx 0{,}1357576\times10^{6}\\ \text{Pa} = 1{,}357576\times10^{5}\\ \text{Pa}.
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos, suficiente para prova):
\Delta P \approx 1{,}36\times10^{5}\\ \text{Pa}.

Passo 6

Interpretação física rápida e comparação com a pressão atmosférica (para ter intuição):
A pressão extra dentro da gota é cerca de 1{,}36\times10^{5}\\ \text{Pa}. A pressão atmosférica é aproximadamente 1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa}, então essa diferença é da ordem de 1{,}34 vezes a atm. Isso mostra que gotas muito pequenas têm pressões internas significativamente maiores que a externa — por isso elas são mais propensas a evaporação, etc. (Um comentário motivador: é normal achar esses números “grandes” — a curvatura muito alta de uma gota de 330 nm gera uma pressão interna grande.)

Resposta

\Delta P \approx 1{,}36\times10^{5}\\ \text{Pa}
\Delta P \approx 1{,}34\\ \text{atm}

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