Calcule a distância do ponto
a reta
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados:
- O ponto
é . - A reta
está na forma paramétrica .
Disto extraímos:- Um ponto que pertence à reta:
. - O vetor diretor da reta:
.
O que o problema pede: calcular a distância do pontoaté a reta .
- Um ponto que pertence à reta:
Passo 2
Intuição e fórmula que vamos usar (explicada devagarinho). A distância entre um ponto
e uma reta que passa por
com vetor diretor
é o comprimento do segmento mais curto que liga
à reta — esse segmento é perpendicular à reta. Uma forma prática de calcular essa distância em
é usar a área do paralelogramo gerado pelos vetores
e
.
A área do paralelogramo é
. Essa área também é igual à base vezes altura, isto é
, onde
é a distância que queremos. Assim:
Aqui:
-
é o vetor que vai de até . -
é o produto vetorial (cross product). -
é a norma (comprimento) de um vetor.
Passo 3
Calcular o vetor
. Subtraindo coordenadas:
Passo 4
Calcular o produto vetorial
. Escrevendo os vetores:
Usando a fórmula componente a componente:
onde
e
. Substituindo:
Passo 5
Calcular a norma do produto vetorial:
Passo 6
Calcular a norma do vetor diretor
:
Passo 7
Aplicar a fórmula da distância:
Se preferir a forma racionalizada: