Calcule a distância do ponto P=(1,0,2) a reta r:(1,0,1)+(2,0,1) t.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • O ponto P é \,P=(1,0,2).
  • A reta r está na forma paramétrica \,r: (1,0,1)+(2,0,1)\,t.
    Disto extraímos:
    • Um ponto que pertence à reta: A=(1,0,1).
    • O vetor diretor da reta: v=(2,0,1).
      O que o problema pede: calcular a distância do ponto P até a reta r.

Passo 2

Intuição e fórmula que vamos usar (explicada devagarinho). A distância entre um ponto P e uma reta que passa por A com vetor diretor v é o comprimento do segmento mais curto que liga P à reta — esse segmento é perpendicular à reta. Uma forma prática de calcular essa distância em \mathbb{R}^3 é usar a área do paralelogramo gerado pelos vetores (P-A) e v.
A área do paralelogramo é \|(P-A)\times v\|. Essa área também é igual à base vezes altura, isto é \|v\|\cdot d, onde d é a distância que queremos. Assim:
d=\frac{\|(P-A)\times v\|}{\|v\|}
Aqui:
  • (P-A) é o vetor que vai de A até P.
  • "\times" é o produto vetorial (cross product).
  • \|\cdot\| é a norma (comprimento) de um vetor.

Passo 3

Calcular o vetor (P-A). Subtraindo coordenadas:
P-A=(1,0,2)-(1,0,1)=(0,0,1).

Passo 4

Calcular o produto vetorial (P-A)\times v. Escrevendo os vetores:
(P-A)=(0,0,1),\qquad v=(2,0,1).
Usando a fórmula componente a componente:
(P-A)\times v=\bigl(u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1\bigr)
onde u=(u_1,u_2,u_3)=(P-A) e v=(v_1,v_2,v_3). Substituindo:
(P-A)\times v=(0\cdot1 - 1\cdot0,\; 1\cdot2 - 0\cdot1,\; 0\cdot0 - 0\cdot2)=(0,2,0).

Passo 5

Calcular a norma do produto vetorial:
\|(P-A)\times v\|=\|(0,2,0)\|=\sqrt{0^2+2^2+0^2}=\sqrt{4}=2.

Passo 6

Calcular a norma do vetor diretor v:
\|v\|=\|(2,0,1)\|=\sqrt{2^2+0^2+1^2}=\sqrt{5}.

Passo 7

Aplicar a fórmula da distância:
d=\frac{\|(P-A)\times v\|}{\|v\|}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Se preferir a forma racionalizada:
d=\frac{2\sqrt{5}}{5}.

Resposta

\dfrac{2}{\sqrt{5}}