Calcule o divergente e o rotacional de cada um dos seguintes campos vetoriais. Se o rotacional for nulo, tente descobrir a função escalar
para o qual o campo vetorial é o gradiente.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial dado, que é:
Para isso, vamos usar as definições de divergente e rotacional, que são conceitos de cálculo vetorial. Além disso, se o rotacional for zero, vamos encontrar uma função escalar
tal que
é o gradiente dessa função. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial
. O divergente mede quanto o campo se “expande” ou “contrai” em cada ponto. A fórmula para o divergente de
é:
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Passo 3
Calculemos
:
Agora,
:
E
:
Passo 4
Agora, somamos essas derivadas parciais para obter o divergente:
Então, o divergente de
é zero.
Passo 5
Agora, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional de
é:
Vamos calcular cada componente.
Passo 6
Calculemos cada termo do rotacional:
-
:
-
:
-
:
Passo 7
Juntando tudo, o rotacional fica:
Então, o rotacional de
não é nulo; ele é
.
Resposta
O divergente de
é
e o rotacional de
é
. Como o rotacional não é nulo, não existe uma função escalar
tal que
seja o gradiente de
.