Calcule o divergente e o rotacional de cada um dos seguintes campos vetoriais. Se o rotacional for nulo, tente descobrir a função escalar phi para o qual o campo vetorial é o gradiente. Fx=x+y ; Fy=-x+y ; Fz=-2 z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial dado, que é:
F = (x + y), i + (-x + y), j + (-2z), k
Para isso, vamos usar as definições de divergente e rotacional, que são conceitos de cálculo vetorial. Além disso, se o rotacional for zero, vamos encontrar uma função escalar tal que é o gradiente dessa função. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial div , F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . O divergente mede quanto o campo se “expande” ou “contrai” em cada ponto. A fórmula para o divergente de é:
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.

Passo 3

Calculemos Fx = x + y Rightarrow partial Fxpartial x = 1 :
Fy = -x + y Rightarrow partial Fypartial y = 1
Agora, Fz = -2z Rightarrow partial Fzpartial z = -2 :
E :

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas parciais para obter o divergente:
div , F = 1 + 1 + (-2) = 0
Então, o divergente de é zero.

Passo 5

Agora, vamos calcular o rotacional de rot , F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k . O rotacional mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional de é:
Vamos calcular cada componente.

Passo 6

Calculemos cada termo do rotacional:
  1. partial (-2z)partial y - partial (-x + y)partial z = 0 - 0 = 0 :
partial (x + y)partial z - partial (-2z)partial x = 0 - 0 = 0
  1. partial (-x + y)partial x - partial (x + y)partial y = (-1) - (1) = -2 :
  1. :

Passo 7

Juntando tudo, o rotacional fica:
rot , F = 0, i + 0, j + (-2), k = -2, k
Então, o rotacional de não é nulo; ele é .

Resposta

O divergente de é e o rotacional de é . Como o rotacional não é nulo, não existe uma função escalar tal que seja o gradiente de .

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