Calcule: E[2 X^2+3 X-1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a expectativa de uma expressão matemática que envolve uma variável aleatória . A expressão é . Então, vamos usar conceitos de esperança matemática (ou expectativa) e linearidade da expectativa para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a expectativa . A expectativa de uma variável aleatória é como a média que a variável assume ao longo do tempo. Agora, a linearidade da expectativa nos diz que a expectativa de uma soma de termos é igual à soma das expectativas de cada termo, e podemos puxar os coeficientes constantes para fora.

Passo 3

Aplicando a linearidade da expectativa na nossa expressão:
E[2 X^2 + 3 X -1] = 2 E[X^2] + 3 E[X] - E[1]

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte separadamente:
  1. : É a expectativa do quadrado de .
  2. : Já sabemos que é a média de .
  3. : Como 1 é uma constante, a expectativa de uma constante é a própria constante. Ou seja, .

Passo 5

Substituindo de volta na expressão:
E[2 X^2 + 3 X -1] = 2 E[X^2] + 3 E[X] - 1

Resposta

A expectativa é igual a .

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