Calcule e esboce as seguintes convoluções para os pares sinais-sistemas entre:
x(t)=\operatorname{rect}(t) e h(t)=\operatorname{rect}(t / 2)

Passo 1

O enunciado quer que a gente calcule
y(t)=x(t)\ast h(t)
onde
x(t)=\operatorname{rect}(t),\quad h(t)=\operatorname{rect}\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr).
Em outras palavras, são dois “retângulos” de alturas unitárias e larguras diferentes, e precisamos achar a convolução e esboçar o resultado.

Passo 2

Vamos lembrar como cada retângulo é definido:
\operatorname{rect}(t)= \begin{cases} 1,&|t|\le\tfrac12,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases} \qquad \operatorname{rect}\Bigl(\tfrac{t}{2}\Bigr)= \begin{cases} 1,&\bigl|\tfrac t2\bigr|\le\tfrac12\;\Longleftrightarrow\;|t|\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}áá
Logo, x(t) vale 1 em [-1/2,1/2] e h(t) vale 1 em [-1,1].

Passo 3

Pela definição
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau
como x e h só valem 1 nos seus respectivos intervalos, y(t) é simplesmente o comprimento da interseção
[-\tfrac12,\tfrac12]\;\cap\;[\,t-1,\;t+1].
Se não há interseção, vale 0; se há, vale a medida desse intervalo.

Passo 4

Analisando caso a caso em função de t:
  1. Se |t|\ge\tfrac32, os intervalos não se sobrepõem e y(t)=0.
  2. Se |t|\le\tfrac12, o retângulo de largura 1 está totalmente dentro do de largura 2, então
y(t)=1.
  1. Para \tfrac12<|t|<\tfrac32, a sobreposição é parcial e decresce linearmente. Pode-se mostrar que
y(t)=\tfrac32 - |t|.

Passo 5

Juntando tudo, a convolução é
y(t)= \begin{cases} 0, & |t|\ge \tfrac{3}{2},\\[6pt] \tfrac{3}{2}-|t|, & \tfrac{1}{2}<|t|<\tfrac{3}{2},\\[6pt] 1, & |t|\le \tfrac{1}{2}. \end{cases}
Para esboçar: é uma forma trapezoidal simétrica em torno de t=0, subindo linear de (-\tfrac32,0) até (-\tfrac12,1), mantendo y=1 entre -\tfrac12 e \tfrac12, e descendo linear até (\tfrac32,0).]

Resposta

y(t)=x(t)\ast h(t)= \begin{cases} 0, & |t|\ge \tfrac{3}{2},\\\ \tfrac{3}{2}-|t|, & \tfrac{1}{2}<|t|<\tfrac{3}{2},\\\\ 1, & |t|\le \tfrac{1}{2}, \end{cases}
com esboço trapezoidal simétrico conforme descrito acima.

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