Calcule e esboce as seguintes convoluções para os pares sinais-sistemas entre:
e
Passo 1
O enunciado quer que a gente calcule
onde
Em outras palavras, são dois “retângulos” de alturas unitárias e larguras diferentes, e precisamos achar a convolução e esboçar o resultado.
Passo 2
Vamos lembrar como cada retângulo é definido:
Logo,
vale 1 em
e
vale 1 em
.
Passo 3
Pela definição
como
e
só valem 1 nos seus respectivos intervalos,
é simplesmente o comprimento da interseção
Se não há interseção, vale 0; se há, vale a medida desse intervalo.
Passo 4
Analisando caso a caso em função de
:
-
Se
, os intervalos não se sobrepõem e . -
Se
, o retângulo de largura 1 está totalmente dentro do de largura 2, então
- Para
, a sobreposição é parcial e decresce linearmente. Pode-se mostrar que
Passo 5
Juntando tudo, a convolução é
Para esboçar: é uma forma trapezoidal simétrica em torno de
, subindo linear de
até
, mantendo
entre
e
, e descendo linear até
.]
Resposta
com esboço trapezoidal simétrico conforme descrito acima.