Calcule e esboce as seguintes convoluções para os pares sinais-sistemas entre:
x(t)=\operatorname{rect}(t-1) e h(t)=\operatorname{rect}(t / 2)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo e esboço da convolução
y(t)=x(t)*h(t)
entre
x(t)=\operatorname{rect}(t-1) \quad\text{e}\quad h(t)=\operatorname{rect}(t/2).
O assunto é convolução de sinais no domínio do tempo e vamos usar a definição de suporte dessas retas.

Passo 2

Definimos
\operatorname{rect}(t)= \begin{cases} 1,&|t|\le \tfrac12,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}á
Portanto \,x(t)=\operatorname{rect}(t-1) vale 1 em [1-\tfrac12,\;1+\tfrac12]=[0{,}5,\,1{,}5]
e zero fora,
e \,h(t)=\operatorname{rect}(t/2) vale 1 se \bigl|\tfrac t2\bigr|\le\tfrac12, isto é |t|\le1,
ou seja em [-1,1], e zero fora.

Passo 3

Pela definição de convolução em tempo contínuo,
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau,
mas como x(\tau) só existe em \tau\in[0{,}5,1{,}5] e h(t-\tau) só em \tau\in[t-1,t+1], o integral reduz-se ao comprimento do intervalo
I(t)=[0{,}5,\,1{,}5]\cap[t-1,\,t+1].

Passo 4

O valor de y(t) é
y(t)=\int_{I(t)}1\;d\tau =\max\{0,\;\min(1{,}5,t+1)\;-\;\max(0{,}5,t-1)\}.
Analisando em quatro regiões de t:
  • Para t< -0{,}5 ou t>2{,}5: I(t)=\varnothing e y(t)=0.
  • Para -0{,}5\le t<0{,}5: \min= t+1, \max=0{,}5,
    então y(t)=(t+1)-0{,}5=t+0{,}5.
  • Para 0{,}5\le t\le1{,}5: \min=1{,}5, \max=0{,}5,
    então y(t)=1{,}5-0{,}5=1.
  • Para 1{,}5< t\le2{,}5: \min=1{,}5, \max=t-1,
    então y(t)=1{,}5-(t-1)=2{,}5-t.

Passo 5

Com isso y(t) tem forma de trapézio isósceles (triangular com platô):
sobe linearmente de 0 até 1 em [-0{,}5,0{,}5], mantém 1 em [0{,}5,1{,}5] e decresce linearmente até 0 em [1{,}5,2{,}5]. O esboço é um trapézio centrado em t=1 com base total de comprimento 3.

Resposta

y(t)= \begin{cases} 0, & t< -0{,}5,\\[6pt] t+0{,}5, & -0{,}5\le t<0{,}5,\\[6pt] 1, & 0{,}5\le t\le1{,}5,\\[6pt] 2{,}5-t, & 1{,}5< t\le2{,}5,\\[6pt] 0, & t>2{,}5. \end{cases}]

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