Calcule e esboce as seguintes convoluções para os pares sinais-sistemas entre:
x(t)=\operatorname{rect}(t-5)+\operatorname{rect}(t+5) e h(t)=\operatorname{rect}(t-4)+\operatorname{rect}(t-4)

Passo 1

O enunciado pede para calcular e esboçar a convolução
y(t)=x(t)*h(t)
onde
x(t)=\rect(t-5)+\rect(t+5)
e
h(t)=\rect(t-4)+\rect(t-4).
O conteúdo envolvido é convolução de sinais usando a propriedade de linearidade e o resultado clássico de que a convolão de duas funções retângulo unitárias é uma função triangular.

Passo 2

Pela linearidade da convolução, escrevemos
y(t) =\bigl[\rect(t-5)+\rect(t+5)\bigr]*\bigl[\rect(t-4)+\rect(t-4)\bigr]
e expandimos em quatro convoluções.

Passo 3

Como \rect(t-4)+\rect(t-4)=2\,\rect(t-4), temos imediatamente
y(t) =2\bigl[\rect(t-5)*\rect(t-4)+\rect(t+5)*\rect(t-4)\bigr].

Passo 4

Sabemos que
\rect(t-a)*\rect(t-b)
é uma função triangular de suporte [a+b-1,\;a+b+1] e valor máximo 1 em t=a+b, dada por
(\rect*\rect)(t) =\max\bigl\{1-\lvert t-(a+b)\rvert,\,0\bigr\}.
Aplicando para a=5,\;b=4 e para a=-5,\;b=4, obtemos
\rect(t-5)*\rect(t-4) =\max\bigl\{1-\lvert t-9\rvert,\,0\bigr\},
\rect(t+5)*\rect(t-4) =\max\bigl\{1-\lvert t+1\rvert,\,0\bigr\}.

Passo 5

Substituindo em y(t), vem
y(t) =2\Bigl[\max\bigl\{1-\lvert t-9\rvert,0\bigr\} +\max\bigl\{1-\lvert t+1\rvert,0\bigr\}\Bigr].
Ou seja, y(t) é a soma de dois triângulos de base 2 e altura 2, um centrado em t=9 e outro em t=-1.

Passo 6

Esboço de y(t):
  • Para t\in[8,10], temos o triângulo de pico em (9,2) e caindo linearmente a zero em t=8 e t=10.
  • Para t\in[-2,0], temos o triângulo de pico em (-1,2) e caindo a zero em t=-2 e t=0.
    Fora desses intervalos, y(t)=0.

Resposta

y(t) =2\Bigl[\max\{1-\lvert t-9\rvert,0\}+\max\{1-\lvert t+1\rvert,0\}\Bigr].
Esboço: dois triângulos de base 2 e altura 2, centrados em t=-1 e em t=9.

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