Calcule e esboce as seguintes convoluções para os pares sinais-sistemas entre:
x(t)=\operatorname{rect}(4 t) e h(t)=4 \delta(t-2)

Passo 1

O enunciado quer o resultado da convolução
y(t) = (x*h)(t)
para
x(t)=\operatorname{rect}(4t)\quad\text{e}\quad h(t)=4\,\delta(t-2).
O conteúdo aqui é a propriedade de convolução com delta e o entendimento de como a escala em x(t) afeta a largura do pulso retangular.

Passo 2

Escrevemos o integral de convolução
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau =\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,4\,\delta\bigl(t-\tau-2\bigr)\,d\tau.

Passo 3

Usando a propriedade do delta,
\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,\delta\bigl(\tau-(t-2)\bigr)\,d\tau =x\bigl(t-2\bigr),
vem
y(t)=4\,x(t-2).

Passo 4

Como x(t)=\operatorname{rect}(4t), tem-se
x(t-2)=\operatorname{rect}\bigl(4(t-2)\bigr),
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y(t)=4\,\operatorname{rect}\bigl(4(t-2)\bigr).
A condição \operatorname{rect}(u)=1 ocorre quando \lvert u\rvert\le\tfrac12. Aqui \lvert4(t-2)\rvert\le\tfrac12 implica \lvert t-2\rvert\le\tfrac18.

Passo 5

Esboço de y(t):
É um pulso retangular centrado em t=2, de amplitude 4 e largura total \tfrac14 (ou seja de 2-\tfrac18=1,875 até 2+\tfrac18=2,125), e zero fora desse intervalo.

Resposta

y(t)=4\,\operatorname{rect}\bigl(4(t-2)\bigr) =\begin{cases} 4, & \lvert t-2\rvert\le\tfrac18,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á

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