Calcule e esboce as seguintes convoluções para os pares sinais-sistemas entre:
x(t)=\operatorname{rect}((t-1) / 2) e h(t)=4 e^{-4 t} u(t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o sinal de saída
y(t) = (x*h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau
onde
x(t) = \operatorname{rect}\!\bigl((t-1)/2\bigr) \quad\text{e}\quad h(t)=4\,e^{-4t}\,u(t).
O conteúdo envolve integrais de convolução e manipulação de funções de suporte (função retângulo e função degrau exponencial).

Passo 2

Primeiro, identificamos o suporte de cada sinal:
\operatorname{rect}\!\bigl((t-1)/2\bigr)= \begin{cases} 1, & |(t-1)/2|\le\frac12\;\Longleftrightarrow\;|t-1|\le1\;\Longleftrightarrow\;0\le t\le2,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
logo
x(t)= \begin{cases} 1, & 0\le t\le2,\\\\ 0, & \text{outros }t. \end{cases}
h(t)=4\,e^{-4t}\,u(t)= \begin{cases} 4\,e^{-4t}, & t\ge0,\\\\ 0, & t<0. \end{cases}

Passo 3

Escrevemos a integral de convolução e determinamos os limites efetivos:
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau =\int_{0}^{2}1\;\bigl[4\,e^{-4\,(t-\tau)}\,u(t-\tau)\bigr]d\tau.
Para que u(t-\tau)=1 é necessário t-\tau\ge0, ou seja \tau\le t. Assim o intervalo de integração é
\tau\in[0,\min\{2,t\}].

Passo 4

Agora separam-se os casos de acordo com t:
  1. Se t<0 então \min\{2,t\}=t<0 e não há \tau\in[0,t], logo
y(t)=0\quad(t<0).
  1. Se 0\le t\le2 então \min\{2,t\}=t e
y(t)=\int_{0}^{t}4\,e^{-4(t-\tau)}\,d\tau =4\,e^{-4t}\int_{0}^{t}e^{4\tau}\,d\tau =4\,e^{-4t}\,\frac{e^{4t}-1}{4} =1 - e^{-4t}.
  1. Se t>2 então \min\{2,t\}=2 e
y(t)=\int_{0}^{2}4\,e^{-4(t-\tau)}\,d\tau =4\,e^{-4t}\int_{0}^{2}e^{4\tau}\,d\tau =4\,e^{-4t}\,\frac{e^{8}-1}{4} =(e^{8}-1)\,e^{-4t}.

Passo 5

Verificamos a continuidade em t=2:
para t\to2^-, y(2^-)=1-e^{-8};
para t\to2^+, y(2^+)=(e^{8}-1)e^{-8}=1-e^{-8}.
Portanto y(t) é contínua.
Esboço qualitativo de y(t): começa em zero para t<0, cresce monotonamente em forma de 1-e^{-4t} até t=2, atinge 1-e^{-8} em t=2 e depois decai exponencialmente como (e^{8}-1)e^{-4t}.

Resposta

y(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\\\ 1 - e^{-4t}, & 0\le t\le2,\\\ (e^{8}-1)\,e^{-4t}, & t>2. \end{cases}
Esboço: cresce de 0 até 1-e^{-8} em t=2, depois decai exponencialmente.

Exercícios relacionados