Calcule x para que exista a inversa de cada matriz:
(d) \left(\begin{array}{ccc}x & -2 & 1 \\\\ -1 & 2 x-1 & x+1 \\\\ 1 & -1 & 0\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} x & -2 & 1\\\\ -1 & 2x-1 & x+1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}
e pede para encontrar os valores de x que garantem a existência da inversa. Sabemos que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Vamos calcular \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) = x\det\begin{pmatrix}2x-1 & x+1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix} -(-2)\det\begin{pmatrix}-1 & x+1\\\\ 1 & 0\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}-1 & 2x-1\\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}2x-1 & x+1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix} =(2x-1)\cdot0 - (x+1)\cdot(-1)=x+1,
\det\begin{pmatrix}-1 & x+1\\\\ 1 & 0\end{pmatrix} =(-1)\cdot0 - (x+1)\cdot1=-(x+1),
\det\begin{pmatrix}-1 & 2x-1\\\\ 1 & -1\end{pmatrix} =(-1)\cdot(-1) - (2x-1)\cdot1=1 -2x+1=2-2x.
Logo,
\det(A) = x(x+1) +2\bigl[-(x+1)\bigr] +1\cdot(2-2x) = x^2 +x -2x -2 +2 -2x = x^2 -3x = x(x-3).

Passo 4

Para A ser invertível, precisamos de
\det(A)\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x-3)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq0,\;x\neq3.

Resposta

Os valores de x que garantem a existência da inversa são todos os reais, exceto
x=0 \quad\text{e}\quad x=3.

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