Calcule x para que exista a inversa de cada matriz:
(c) \left(\begin{array}{ccc}-x & 0 & 1 \\\\ -3 & 5 & -1 \\\\ 2 x & -10 & x+1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede os valores de x para os quais a matriz
A = \begin{pmatrix} -x & 0 & 1 \\[6pt] -3 & 5 & -1 \\[6pt] 2x & -10 & x+1 \end{pmatrix}
é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.]

Passo 2

Vamos calcular \det(A) por expansão na primeira linha.
Termo associado a -x:
(-x)\,\det\!\begin{pmatrix}5 & -1\\\\ -10 & x+1\end{pmatrix} = (-x)\bigl(5(x+1)-(-1)(-10)\bigr) = -x\bigl(5x+5-10\bigr) = -x(5x-5) = -5x^2+5x.
O termo associado a 0 é zero.
Termo associado a 1:
1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-3 & 5\\\\ 2x & -10\end{pmatrix} = (-3)(-10)-5\cdot(2x) =30-10x.

Passo 3

Somando os termos obtidos:
\det(A) = \bigl(-5x^2+5x\bigr) + \bigl(30-10x\bigr) = -5x^2 -5x +30 = -5(x^2 + x -6) = -5(x+3)(x-2).
Para que A seja invertível, é necessário \det(A)\neq 0, ou seja,
x\neq 2 \quad\text{e}\quad x\neq -3.

Resposta

A inversa de A existe se, e somente se, x\neq 2 e x\neq -3.

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