Calcule as expressões.
d) |-4 x|+|8 x|

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\left|-4 x\right| + \left|8 x\right|.
Não há outros dados; a tarefa é simplificar essa expressão em termos de x.

Passo 2

Lembrete sobre o valor absoluto (definição): para qualquer número real a\), \[\left|a\right| = \begin{cases} a, & a \ge 0,\\[4pt] -a, & a < 0. \end{cases}
Intuição rápida: \left|a\right|\] é a distância de \(a até 0, sempre não negativa.]

Passo 3

Propriedade importante que vamos usar (e que facilita muito):
\left|ab\right|=\left|a\right|\left|b\right|
para quaisquer a,b. Em particular, se c é constante então \left|c x\right|=\left|c\right|\left|x\right|.

Passo 4

Aplicando essa propriedade à primeira parcela:
\left|-4x\right|=\left|-4\right|\left|x\right|.
Como \left|-4\right|=4, segue
\left|-4x\right|=4\left|x\right|.

Passo 5

Aplicando a mesma ideia à segunda parcela:
\left|8x\right|=\left|8\right|\left|x\right|.
Como \left|8\right|=8, segue
\left|8x\right|=8\left|x\right|.

Passo 6

Somando as duas expressões obtidas:
\left|-4x\right|+\left|8x\right|=4\left|x\right|+8\left|x\right|.
Fatorando \left|x\right| (que é comum):
4\left|x\right|+8\left|x\right|=(4+8)\left|x\right|=12\left|x\right|.

Passo 7

Forma equivalente em expressão por casos (útil para provas):
\left|x\right|= \begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0, \end{cases}
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12\left|x\right|= \begin{cases} 12x, & x\ge 0,\\[4pt] -12x, & x<0. \end{cases}]

Passo 8

Cheque rápido com números (guarda-chova de confiança):\n
  • Se x=2: \left|-4\cdot2\right|+\left|8\cdot2\right|=\left|-8\right|+\left|16\right|=8+16=24; e 12\left|2\right|=12\cdot2=24. Confere.\n
  • Se x=-1{,}5: \left|-4(-1{,}5)\right|+\left|8(-1{,}5)\right|=\left|6\right|+\left|-12\right|=6+12=18; e 12\left|-1{,}5\right|=12\cdot1{,}5=18. Também confere.

Passo 9

Dica para a prova: quando aparecer soma de valores absolutos com o mesmo fator x, use \left|c x\right|=\left|c\right|\left|x\right| para reduzir tudo a um múltiplo de \left|x\right|. Isso evita ficar analisando muitos casos desnecessários.

Resposta

12\left|x\right|
12\left|x\right|= \begin{cases} 12x, & x\ge 0,\\[4pt] -12x, & x<0. \end{cases}]

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