Calcule f'(p) pela definição, isto é, usando limite, sendo dados. f(x) = x / (x + 1) e p = -2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função no ponto usando a definição de derivada, que envolve limites. Basicamente, vamos calcular como a função muda perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a derivada é definida. A derivada de em é o limite quando se aproxima de 0 da diferença dividida por . Em fórmula:
Aqui, é um pequeno incremento em .

Passo 3

Vamos calcular . Substituindo por na função:
E já sabemos que é:

Passo 4

Agora, vamos montar a diferença :
Para simplificar essa expressão, precisamos encontrar um denominador comum.

Passo 5

Encontrando o denominador comum, temos:
Vamos expandir os numeradores:
Subtraindo:

Passo 6

Então, a diferença fica:
Dividindo por :

Passo 7

Agora, aplicamos o limite quando tende a 0:

Passo 8

Finalmente, substituímos :

Resposta

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