Calcule
pela definição, isto é, usando limite, sendo dados.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
no ponto
usando a definição de derivada, que envolve limites. Basicamente, vamos calcular como a função muda perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a derivada é definida. A derivada de
em
é o limite quando
se aproxima de 0 da diferença
dividida por
. Em fórmula:
Aqui,
é um pequeno incremento em
.
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo
por
na função:
E já sabemos que
é:
Passo 4
Agora, vamos montar a diferença
:
Para simplificar essa expressão, precisamos encontrar um denominador comum.
Passo 5
Encontrando o denominador comum, temos:
Vamos expandir os numeradores:
Subtraindo:
Passo 6
Então, a diferença fica:
Dividindo por
:
Passo 7
Agora, aplicamos o limite quando
tende a 0:
Passo 8
Finalmente, substituímos
: