Calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=\frac{x}{2-\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\frac{x}{2-\tan x}.
O conteúdo que vamos usar é a regra do quociente (para diferenciar u/v) e a derivada da função trigonométrica \tan x, cuja derivada é \operatorname{sec}^2 x.

Passo 2

Vamos chamar
u(x)=x \quad\text{e}\quad v(x)=2-\tan x.
Então
u'(x)=1 \quad\text{e}\quad v'(x)=-\bigl(\tan x\bigr)'=-\operatorname{sec}^2 x.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2} =\frac{1\cdot\bigl(2-\tan x\bigr)-x\cdot\bigl(-\operatorname{sec}^2 x\bigr)}{\bigl(2-\tan x\bigr)^2}.

Passo 4

Simplificando o numerador:
1\cdot(2-\tan x)-x\cdot(-\operatorname{sec}^2 x) =2-\tan x + x\,\operatorname{sec}^2 x.
Logo,
f'(x) =\frac{2-\tan x + x\,\operatorname{sec}^2 x}{\bigl(2-\tan x\bigr)^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{2-\tan x + x\,\operatorname{sec}^2 x}{\bigl(2-\tan x\bigr)^2}.

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