Calcule o fluxo do campo F(X) = X / (||X||^3), X ≠ (0, 0, 0), através da esfera S²(a) orientada pelo vetor normal que aponta para fora.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial através de uma esfera com raio . Isso envolve conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o cálculo de fluxos através de superfícies. Para resolver, vamos usar a definição de fluxo e algumas propriedades de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede quanta “quantidade” do campo passa através da superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

No nosso caso, a superfície é uma esfera de raio centrada na origem. O vetor normal que aponta para fora em cada ponto da esfera é simplesmente o vetor posição dividido pela sua norma , ou seja:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Já que estamos na esfera , sabemos que . Então:

Passo 5

Agora, substituímos na integral de fluxo:
A integral representa a área da esfera.

Passo 6

Sabemos que a área de uma esfera de raio é:
Á
Substituindo na expressão do fluxo:

Resposta

O fluxo do campo através da esfera é .

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