Calcule:
\frac{5^{9}}{5^{6}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a fração \dfrac{5^{9}}{5^{6}}.
Informações dadas:
  • A base em ambas as potências é \,5.
  • Os expoentes são \,9 no numerador e \,6 no denominador.
    O que se pede: simplificar essa expressão e encontrar o valor numérico.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de potência e escrever as potências de forma expandida (multiplicativa). Por definição,
5^{9}=5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5
5^{6}=5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5
Ao dividir \,5^{9} por \,5^{6}, podemos cancelar fatores iguais no numerador e no denominador:
\frac{5^{9}}{5^{6}} = \frac{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}

Passo 3

Cancelando os seis fatores 5 que aparecem tanto no numerador quanto no denominador, sobram três fatores 5 no numerador. Ou seja,
\frac{5^{9}}{5^{6}}=5\cdot5\cdot5=5^{3}.
Este procedimento é a razão prática da regra geral das potências:
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},
onde a é a base comum e m,n são expoentes inteiros. Aqui temos m=9 e n=6, então m-n=3, confirmando \,5^{3}.

Passo 4

Agora calculamos o valor de \,5^{3} passo a passo:
5\cdot5=25,
25\cdot5=125.
Portanto \,5^{3}=125.

Resposta

125